Ecuaciones diferenciales y apliaciones

UNIDAD VI.- Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales

6.1 Definiciones (ecuación diferencial parcial, orden y linealidad).

Una ecuación diferencial es aquella ecuación que contiene diferenciales o derivadas de una o más variables.
 Una ecuación Diferencial Ordinaria. Es aquella ecuación que contiene solo derivadas ordinarias de una o mas variables dependientes con respecto auna sola variable independiente.
Ejemplos:
 
El orden  de una ecuación diferencial está determinado por el orden de la derivada más grande dentro de la ecuación diferencial.
 

Ecuaciones Diferenciales Parcial. Son aquellas ecuaciones que contienen derivadas parciales dependientes de dos o más variables independientes. Ejemplo:
 

 

Una ecuación ordinaria o parcial se puede clasificar según el orden, es decir, de acuerdo a la derivada más alta en la ecuación.
 Ejemplos:
 

Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.
 Otro ejemplo pero en derivadas parciales es el que a continuación se presenta, se trata de una ecuación diferencial parcial de tercer orden

 En general, una ecuación diferencial ordinaria de orden n se representa como:
 

 A continuaciónse abordara otra clasificación, la cual corresponde a la linealidad o no linealidad.
 Recordemos que una ecuación se dice lineal si
 

Donde los ai no todos son cero.
En el caso de la ecuación diferencial la linealidad es caracterizada por la forma
 
Donde  es una función de x no cero.
 Se observan dos características en dicha forma: la variable dependiente, en este caso la variable y,junto todas sus derivadas son de primer grado, es decir, la potencia en y es 1; por otro lado, cada coeficiente depende solo de la variable dependiente de x.
  ¿Qué es una ecuación diferencial?
 
Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variablesindependientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria, por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial .
La frase de manera no trivial que hemos usado en la definición anterior tiene como propósito descartar ecuaciones diferenciales que satisfacen la definición, pero son realmente identidades, es decir, son siempreverdaderas sin importar quién sea la función desconocida. Un ejemplo de tal tipo de ecuaciones es:

Esta ecuación es satisfecha por cualquier función en una variable que sea derivable. Otro ejemplo es

Es claro que lo que está detrás de esta ecuación es la fórmula notable; por lo que la ecuación es satisfecha por cualquier función derivable.
Nuestra atención se centrará sobre ecuacionesdiferenciales ordinarias. Una ecuación diferencial ordinaria es aquella que tiene a como variable dependiente y a como variable independiente se acostumbra expresar en la forma

para algún entero positivo . Si podemos despejar de esta ecuación la derivada más alta, obtenemos una o más ecuaciones de orden de la forma

 
Ejemplo
La ecuación es equivalente a las dos ecuaciones diferenciales

Lasecuaciones diferenciales se clasifican en varias categorías, como ya vimos, según su tipo en ordinarias y parciales, o según su linealidad u orden, como veremos.
 Definición  Orden de una ecuaciónón diferencial
El orden de una ecuación diferencial es igual al de la derivada de más alto orden que aparece de manera no trivial en la ecuación.
De nuevo, la frase de manera no trivial tiene el finde evitar situaciones como la siguiente

cuyo orden es uno y no tres, como podría pensarse.

Definición  Ecuación Diferencial lineal
Una ecuación diferencial ordinaria de orden es lineal  si se puede escribir de la forma

donde los coeficientes para son funciones reales, con. Una ecuación diferencial ordinaria que no se pueda expresar de esta forma es no lineal. 

Algunas veces...