Ecuaciones diferenciales y derivadas

Ejemplo 1. Determinar la temperatura u(x, y) correspondiente al estado o estacionario en la paca cuadrada.

Solución:
(6.11)
La ecuación que gobierna este fenómeno es de tipo elíptica, correspondiente a la ecuación de Laplace (estado estacionario, estado estable)
∂2u∂x2+ ∂2u∂y2=0
La solución propuesta es
U(x, y) = X(x)Y(y); u = XY

Y se sustituye en la ecuación (6.11)∂2(XY)∂x2+ ∂2(XY)∂y2=0
O bien
Y∂2X∂x2+ X∂2Y∂y2=0

Dividiendo la ecuación diferencial parcial entre xy se obtiene que
1X∂2X∂x2+1Y ∂2Y∂y2=0
O bien que
1X∂2X∂x2=-1Y ∂2Y∂y2
Como cada derivada está tomada respecto de una variable distinta, entonces la única forma en que esta igualdad es válida es que ambos términos sean iguales a una constante, la cual se especificará de acuerdo al fenómeno que sepresenta s un fenómeno armónico, oscilatorio. Entonces
1X∂2X∂x2=-1Y ∂2Y∂y2=-x2
A partir de aquí se plantean las siguientes dos ecuaciones diferenciales ordinarias
I) 1X∂2X∂x2= -λ2 ⟹ X"+ λ2=0
II) 1Y∂2Y∂y2= -λ2 ⟹ Y"+ λ2=0
A continuación se resuelven las ecuaciones diferenciales ordinaras (I) y (II).
A partir de la ecuación características de (I) se ve que sus raíces son complejas conjugadas
m2+λ2=0 ⟹ m= -λ2 = -1 λ2 = ± λi
(6.12)
Por tanto, la solución es
Xx= Acosλx+Bsenλx
Por otro lado, a partir de la ecuación característica de (II) se ve que sus raíces son reales y distintas
m2+ λ2=0 ⟹ m= λ2 = ± λ
(6.13)
Y para este tipo de raíces la solución viene dada por
Yy= Ccoshλy+Dsenhλy
(6.14)
A continuación se introducen las condiciones de frontera en las expresiones de X(x) yY(y). Para X se tiene que
u0, y=0 ⟹ u0, y=X0Yy=0 ⟹ X0=0
(6.16)
(6.15)
y
u1, y=0 ⟹ u1, y=X1Yy=0 ⟹ X1=0
Para Y se tiene que
ux,0=0 ⟹ ux, 0=XxY0=0 ⟹ Y0=0
(6.17)

ux, 1=0 ⟹ ux,0=XxY1=1 ⟹ Y1=1

Introduciendo la condición de frontera, ecuación (6.14), en la ecuación (6.12), se obtiene el valor dela constante A.
0=Acosλ0+Bsenλx ⟹ 0=A1+0 ⟹ A=0
(6.18)
Por tanto, X(x) se reduce a
X(x) = Bsenλx
Introduciendo la segunda condición de frontera, ecuación (6.15), en la ecuación (6.18) se obtiene que
0=Bsenλ
Si B≠0 entonces senλ=0 y por tanto
λ=nπ para n =0,…∞
(6.19)
Y X(x) se expresa como
X(x) =Bsen(nπx)
Introduciendo la tercera de las condicionesde frontera, ecuación (6.16), en la ecuación (6.13), se obtiene el valor de la constante C.
0=Ccoshλ0+Dsenhλ0 ⟹ 0=C1+0 ⟹ C=0

(6.20)
Por tanto Y(y) viene dada por la expresión
Y(y) = Dsenhλ

Introduciendo las ecuaciones (6.18) y (6.20) en la solución propuesta, ecuación (6.9), se obtiene que
ux, y=XxYy=0 Bsen nπxDsenhλy λ=nπ

(6.21)
O bien
ux,y=n=0∞Ansennπxsenh(nπy)

(6.22)
Introduciendo la cuarta condición de frontera, ecuación (6.17), en la ecuación (6.21), se obtiene que
ux, 1=n=0∞Ansennπxsenh(nπy(1))=1
Aplicando el proceso de ortogonalización en la ecuación (6.22), es decir, multiplicando dicha ecuación por mπx e integrado, resulta que
ux, 1sen mπx=n=0∞Ansennπxsenmπxsenh(λ)
01ux, 1 sen mπx =01Ansennπxsenmπxsenh(λ)
Si n≠m, laintegral del lado derecho es
01Ansennπxsenmπxsenhnπ=0
Si n= m se tiene que
01ux, 1 sen mπxdx =01Ansen2mπxsenhmπdx
O bien
01ux, 1 sen mπxdx =Ansenhmπ01sen2mπxdx
Tomando en cuenta que
01ux, 1 sen mπxdx =Ansenhmπ01sen2mπxdx
Se obtiene que
01ux, 1 sen mπxdx =Ansenhmπx2-sen2mπx4mπ01
O bien
01 =Ansenhmπ12-sen2mπx4mπ-0
O bien
01ux, 1 sen mπxdx =Ansenhmπ12
(6.23)
Despejando An de laecuación anterior resulta que
An=201ux, 1 sen (mπx)dxsenhmπ
Como de la cuarta condición de frontera, ecuación (6.17), se tiene que u(x, 1)=1 entonces An se expresa como
An=201sen (mπx)dxsenhmπ
Integrando se obtiene el valor de An
An=2-1mπcosmπx01senhmπ ⟹ 2-1mπcosmπ1-cosmπ0senhmπ
⟹ An=-2mπcos mπ-1senhmπ ⟹ An=-2cos mπ-1mπsenhmπ
Evaluando (1-cos mπ) en los impares y los pares se...