Ecuaciones diferenciales

DEFINICION
 
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que aparecen derivadas o diferenciales. Si una ecuación contiene solo derivadas de una función de una variable, entonces se dice que es ordinaria. Una ecuación diferencial parcial contiene derivadas parciales. En este capítulo se desarrollan algunos métodos para resolver los tipos básicos de ecuaciones diferenciales ordinarias. Laintención de este análisis no es una disertación sobre el tema sino bien servir de introducción a esta área tan vasta y a la vez tan importante de las matemáticas.
 
ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES
 
 Una ecuación en la que aparecen x,y, y´y´´,... y y(n) , donde y es una función de x y y (n) es la n-esima derivada de y con respecto a x, es una ecuación diferencial ordinaria de orden n. Lossiguientes ejemplos son ecuaciones ordinarias del orden especificado:
 
ORDEN 1: Y´=2x
ORDEN 2: D²y / dx² + x²( dy / dx )³ - 15y= 0
ORDEN 3: ( y¨¨)4 – x²(y¨ )5 + 4xy = x ex
ORDEN 4: (d 4y /dx4 ) - 1 = x³ dy/ dx
 
Recordemos que una función f (o f(x) es una solución de una ecuación diferencial si al sustituir y por f (x) se obtiene una identidad para todo x en un intervalo. Por ejemplo, la ecuacióndiferencial
Y´ = 6x 2 - 5
Tiene solución
F (x) = 2x3 - 5x + C
Para todo real C, porque al sustituir y por f(x) se llega a la identidad 6x 2 - 5 = 6x 2 - 5. Se dice que f(x) = 2x 3 - 5x + C es la solución general de y´= 6x 2 - 5 porque todas las soluciones son de esta forma. Se obtiene una solución particular asignando valores específicos a C. Por ejemplo, tomando C = 0 se obtiene la solución particular y= 2x3 – 5x. A veces se dan condiciones iniciales para determinar una solución particular, como se ilustra en el siguiente ejemplo
  
EJEMPLO 1
 

  
a. Encontrar la solución general de la ecuación diferencial y´= 2x e ilustrarla gráficamente
b. Obtener una solución particular de y´ = 2x que satisfaga la siguiente condición: y = 3 cuando x = 0
SOLUCIÓN
 
a. Si f es una solución de y´ =2x, entonces f´´(x) = 2x. La integral indefinida lleva a la solución general
Y = f (x) = x² + C.
Podemos encontrar soluciones particulares asignando valores específicos a C. Así obtenemos la familia de parábolas y = x² + C
b. Si y = 3 cuando x = 0, entonces sustituyendo en y = x² + C obtenemos 3 = 0 + C, o bien C = 3. Por lo tanto, la solución particular es y = x² + 3
 
 
EJEMPLO 2
Demostrarque la ecuación diferencial y´´ - 25y = 0 tiene como solución
F(x) = C1e5x + C2e-5x
Donde C1 C2 son números reales
SOLUCION. Derivando obtenemos
Y f´(x) = 5C1e5x - 5C2e-5x
Y f´´(x) = C1e5x + 25C2e-5x
Sustituyendo y por f (x) en la ecuación diferencial y´´ - 25y = 0, llegamos a:
(25C1e5x + 25C2e--5x ) – 25(C1e-5x + C2e--5x) = 0
 (25C1e5x - 25C1e-5x ) + (25C2e-5x - 25 C2e-5x ) = 0
como el ladoizquierdo de la ecuación es 0 para todo x, resulta que ƒ (x) es solución de y´´ - 25y = 0
La solución C1e5x + C2e-5x del Ejemplo 2 la solución general de y´´ - 25y = 0. Observamos que la ecuación general tiene dos constantes arbitrarias (llamadas parámetros) C1 y C2 . La definición precisa de solución general involucra el concepto de parámetros independientes. Las soluciones generales de ecuacionesdiferenciales de n-ésimo orden tienen n parámetros independientes C1, C2 ....., Cn
Las soluciones particulares se obtienen asignando valores específicos a cada parámetro. Algunas ecuaciones diferenciales tienen soluciones que no son casos especiales de la solución general.
Tales soluciones singulares no se discuten en este caso.
 

EJEMPLO 3
Demostrar que x³ + x²y – 2y³ = C es una soluciónimplícita de
(x² - 6y²)y´+ 3x² + 2xy = 0
SOLUCION
Si y = ƒ(x) satisface la primera ecuación, entonces derivando implícitamente,
3x² + 2xy + x²y´- 6y²y´ = 0
o bien
(x²- 6y²)y´+ 3x² + 2xy = 0
Por lo tanto, ƒ(x) es una solución de la ecuación diferencial.
Una de las clases más sencillas de las ecuaciones diferenciales es
M(x) + N(y)y´= 0 o bien M(x) + N (y) dy/dx = 0
Donde M y N son funciones...