Ecuaciones diferenciales

Resolver la ecuación diferencial :
y' = p(x).y = 0
con la condición y(0) = 1 siendo :

Respuesta 1
Esta ecuación es del tipo lineal por ser de primer grado en y' e y. La ecuación tendrá una solución para cada uno de los intervalos indicados. Calculamos la primera de ellas con la condición y(0) = 1.
y' + 2y = 0 ; dy + 2y.dx = 0 ; dy + 2.dx = 0 ; Ln y + 2x = Ln C
Si tomamos antilogaritmostenemos :

La ecuación resultante toma para x = 1 el valor e-2 con lo que la siguiente ecuación tenemos que resolverla en la forma :
y' + y = 0 ; con la condición y(1) = e-2
Tenemos según eso :
y' + y = 0 ; dy + y.dx = 0 ; dy + dx = 0 ; Ln y + x = Ln C ; y = C.e-x
y considerando el valor y(1) = e-2

Resolver la ecuación diferencial :

Respuesta
La ecuación es homogénea ya que se puedeponer en la forma :

Por lo tanto, podemos hacer el cambio v = y/x para poner :

y separando variables:

o deshaciendo el cambio de variables :
arc tg(y/x) – Ln x = C

Resolver la ecuación diferencial :

Respuesta
Esta ecuación es homogénea por ser el numerador y denominador funciones del mismo grado. Haciendo el cambio v = y/x , obtenemos :

y separando variables:

Aplicando elmétodo de los coeficientes indeterminados para separar en fracciones simples el primer miembro, tenemos :

o lo que es igual :

Finalmente, deshaciendo el cambio y simplificando :

|

Resolver la siguiente ecuación :y' = (x + y)con la condición y(0) = 1.RespuestaLa ecuación la podemos transformar haciendo el cambio de variable v = x + y , para obtener :v' = 1 + y' ; y' = v' – 1 = x + y = v; v' = v + 1y separando variables para integrar :

pero teniendo en cuenta que y(0) = 1 :

y tomando antilogaritmos:

|
Resolver la ecuación diferencial :

RespuestaTenemos una ecuación homogénea en la que el cambio v = y/x nos permite escribir :

y separando variables:

O lo que es igual :

|

Reglas de derivación (I)
El cálculo de la derivada de una función puede realizarsea partir de un conjunto de reglas fijas de aplicación sistemática. A la hora de derivar una función, se utilizan primero las propiedades generales de la derivación, para reducirla a una serie de funciones simples conocidas, cuyas derivadas se obtienen directamente a partir de una tabla.
Regla de los cuatro pasos
El proceso más general utilizado para la obtención de derivadas de funciones sedenomina regla de los cuatro pasos. Dada una función f (x) continua y derivable, esta regla aplica las siguientes etapas:
* Se determina: f (x + h).
* Se calcula: f (x + h) - f (x).
* Se obtiene el cociente incremental entre ambos términos:

* Se calcula el límite de este cociente incremental cuando h tiende a cero:

Suma y diferencia de funciones
Dadas dos funciones u (x)y v (x) continuas y derivables, la derivada de la función suma (o diferencia) de las dos es igual a la suma (o diferencia) de sus derivadas.

Producto de una función por una constante
Dada una función f (x) continua y derivable y un número real , la derivada del producto de ambos es igual al producto de la constante por la derivada de la función.
Dada una función:

Entonces la derivadaserá:

Producto de funciones
Dadas dos funciones continuas y derivables, la derivada del producto de las dos es igual a la derivada de la primera por la segunda, sin derivar, más la primera por la derivada de la segunda. Dada una función:

Entonces su derivada se calcula como:

Cociente de funciones
Dadas dos funciones continuas y derivables u (x) y v (x), donde la segunda es distintade cero, la derivada del cociente de la primera por la segunda se determina con arreglo a la expresión dada a continuación.
Dada una función:

Se cumple que su derivada primera es:

Composición de funciones
Dada una función f (u) derivable con respecto a u, siendo u derivable con respecto a x, la derivada de la composición de funciones f [u(x)] con respecto a x es igual al producto de la...