Ecuaciones diferenciales

SOBRE EL COMPORTAMIENTO DE SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES EN R3 Y EL TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD EN Rn

WILSON FERNANDO PALACIOS GARCIA

UNIVERSIDAD DE CUNDINAMARCA
´ FACULTAD DE EDUCACION ´ LICENCIATURA EN MATEMATICAS ´ FUSAGASUGA, MAYO DE 2010

SOBRE EL COMPORTAMIENTO DE SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES EN R3 Y EL TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD EN RnWILSON FERNANDO PALACIOS GARCIA

Asesor: NESTOR ORLANDO FORERO DIAZ
Magister en Matem´ticas a

UNIVERSIDAD DE CUNDINAMARCA ´ FACULTAD DE EDUCACION ´ LICENCIATURA EN MATEMATICAS ´ FUSAGASUGA, MAYO DE 2010

´ Indice general
1. PRELIMINARES 1.1. Espacio Vectorial Normado . . . . . . . 1.2. Sistemas De Ecuaciones Diferenciales 1.2.1. Sistemas Lineales . . . . . . . . . 1.3. Exponencial deuna Matriz . . . . . . . 1.3.1. Derivada de eAt . . . . . . . . . . 1.4. Formas de Jordan . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Matriz de bloques de Jordan . . 3 3 4 5 8 9 11 11

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. .. . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

´ ´ 2. CLASIFICACION Y COMPORTAMIENTO DE SISTEMAS DINAMICOS EN R2 Y R3 2.1. Sistemas lineales homog´neos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.2. Clasificaci´n por casos sobre el comportamiento de las soluciones en siso temasbidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Autovalores reales distintos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Ecuaciones diferenciales con autovalores reales distintos . . . . . . . . . . 2.3.1. Conjunto fundamental de soluciones para sistemas homog´neos . e 2.4. Caso I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 2.5. Caso II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Caso III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Caso IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Caso V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 3.TEORIA FUNDAMENTAL 3.1. Sistemas din´micos y campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . a 3.2. El teorema fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Existencia y unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Continuidad de las soluciones respecto a las condiciones iniciales

13 13 15 15 19 21 21 24 26 30 30 32 32 33 35 41

. . . .

. .. .

. . . .

. . . .

i

´ INTRODUCCION

ii

Cap´ ıtulo 1

PRELIMINARES
1.1. Espacio Vectorial Normado

Para el desarrollo de nuestro estudio se requieren de algunas definiciones y teoremas previos para este trabajo, como parte del contexto matem´tico dentro del trabajo a realizarse. a

Definici´n 1.1.1. Sea V un espacio vectorial. Una norma es una funci´n . : V −→ [0, ∞) queo o cumple las siguientes propiedades: Dados u, v ∈ V cualesquiera y α ∈ R 1. 2. 3. v = 0 ⇐⇒ v ≡ 0 αv = |x| v u+v ≤ u + v

Definici´n 1.1.2. Sea V un espacio vectorial y . la funci´n definida anteriormente, se denomina o o a la pareja (V, . ) Espacio Vectorial Normado. Definici´n 1.1.3. (Condici´n de Lipschitz) Una funci´n f : W −→ Rn , W un conjunto o o o abierto de un espacio vectorial normado Rn, se dice que es de Lipschitz sobre W si existe una constante K tal que

|(f (y) − f (x))| ≤ K|(y − x)| para toda x, y ∈ W. Decimos que K es una constante lipschitz para f . M´s generalmente se dice a que f es localmente lipschitz, si cada punto de W en el dominio de f tiene una vecindad de W0 en W tal que la restricci´n f | W0 es de Lipschitz. o 3

Preliminares Definici´n 1.1.4. (Punto...