Ecuaciones diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES

1. Solución de ED no H, por coeficientes indeterminados.

2. Utilice la reducción de orden para resolver:



3. Elaboración de una tabla resumen de los métodos de solución de las ED separando, por clasificación de las mismas, con una descripción breve del método.

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
Una ecuación diferencial de primer ordencon la condición inicial se expresa de la siguiente forma:

Donde es la condición inicial.

Ecuación de variables separables
Son EDOs de la forma:

En donde es posible "despejar" todos los términos con la variable dependiente en función de la variable independiente, quedando ahora la ecuación:

En donde se procede integrando ambos miembros de la ecuación

De donde es posible obtener lasolución.
Ecuación exacta
Una ecuación de la forma:

se dice exacta si existe una función F que cumpla:
Y

Su solución es entonces:
Ecuación de Coeficientes Homogéneos (llamada comúnmente homogénea).
Ecuación lineal
Una ecuación diferencial es lineal si presenta la forma:

Y que tienen por solución:

Como se puede apreciar, esta ecuación es una ecuacióndiferencial de Bernoulli, con n=0.
Ecuación de Bernoulli
Una ecuación diferencial de Bernoulli, que es a su vez una generalización de la ecuación diferencial lineal, fue formulada por Jakob Bernoulli y resuelta por su hermano, Johann Bernoulli y presenta la forma:

En la cual, si se hace la sustitución z = y1 − n, la ecuación se transforma en una ecuación lineal con z como variable dependiente,resolviéndose de manera análoga.

Ecuación de Riccati
Una ecuación diferencial tiene la forma de la introducida por Jacobo Francesco Riccati cuando presenta la estructura:

Para resolverla, se debe hacer la sustitución
,
donde yp es una solución particular cualquiera de la ecuación.
Ecuación de LaGrange
Una ecuación diferencial de LaGrange presenta la forma:

Resolviéndose con lasustitución y' = p, obteniéndose una solución general y una solución particular.
Ecuación de Clairaut
Una ecuación diferencial de Clairaut, llamada así en honor a Clairaut, tiene la forma:

Como se puede apreciar, esta ecuación es una forma particular de la ecuación diferencial de LaGrange, con g(y') = y', por lo cual, su resolución es análoga a la anterior.

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DESEGUNDO ORDEN
Muchos problemas físicos importantes tanto en mecánica como en electromagnetismo conllevan la resolución de ecuaciones diferenciales de segundo orden.
Ecuación lineal con coeficientes constantes
La ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes tiene la forma:

La resolución de esta ecuación depende de las raíces del polinomio característico:

En función decómo sean las raíces de dicho polinomio se distinguen tres casos posibles:
Caso 1: dos raíces reales y distintas, en este caso la solución general tiene la forma:

Caso 2: dos raíces reales e iguales, en este caso la solución general tiene la forma:

Caso 3: dos raíces complejas conjugadas, en este caso la solución general tiene la forma:

El último término de esta última ecuación estárelacionado con la integral de Duhamel.

Ecuación diferencial de Euler o de Cauchy
Esta ecuación tiene la forma:

Y puede resolverse mediante haciendo el cambio de variable que reduce la ecuación anterior a una ecuación de coeficientes constantes resoluble por los métodos de la sección anterior:

Ecuaciones de Bessel
La ecuación diferencial de Bessel, aparece con frecuencia en la resolucióndel problema de Dirichlet en coordenadas cilíndricas. Dicha ecuación tiene la forma:

Esta ecuación es resoluble mediante las llamadas funciones de Bessel:

Además de esta ecuación existe otra ecuación resoluble mediante funciones de Bessel. La ecuación diferencial de Bessel modificada, aparece con frecuencia en la resolución del problema de Dirichlet en coordenadas cilíndricas. Dicha...