Ecuaciones diferenciales

1 Introducción a las ecuaciones diferenciales
Las palabras ecuaciones y diferenciales nos hacen pensar en la solución de cierto tipo de ecuación que contenga derivadas. Así como al estudiar álgebra y trigonometría se invierte bastante tiempo en resolver ecuaciones, como + 5 + 4 =0 la incógnita , en este curso con vamos a resolver ecuaciones diferenciales como + + 4 = , cuya incógnita es lafunción 4 2 .

1.1

Solución (Ecuaciones diferenciales, orden, grado y linealidad)

Ecuaciones diferenciales Definición: Una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes es una ecuación diferencial. Ecuación diferencial: En cálculo la derivada, , de la función 4 2 es en sí, otra función de
∅

que se determina siguiendolas reglas adecuadas; por ejemplo, si 4 Al remplazar (
)

, entonces

4 ∅

∅

.

por el símbolo se obtiene

4 ∅

.

El problema al que nos encararemos en este curso no es “dada una función 4 2, determinar su derivada”. El problema es “dada una Ecuación diferencial, como la ecuación 4 ∅ , ¿hay algún método por el cual podamos llegar a la función desconocida 4 2?

Clasificaciónde una ecuación diferencial según su tipo, orden y linealidad Clasificación según el tipo.- Si una ecuación sólo contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria. Ejemplo.: + = 4 00000000000000 0000000000000 + 4 =

Clasificación según el orden.- El Orden de una ecuacióndiferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuación. Ejemplo:

Segundo orden +5

primer orden 4 ( 2 + 0 4 = se

Es una ecuación diferencial de segundo orden. Como la ecuación puede escribir en la forma + 4 . Si se divide entre la diferencial una ecuación diferencial ordinaria de primer orden.

, es un ejemplo de

Una ecuación diferencialordinaria general de orden
2

se suele representar mediante los símbolos

. 4 =

Clasificación según la linealidad o no linealidad.- Se dice que una ecuación diferencial de la forma 2 2 2 4 es lineal cuando es una función lineal de Esto significa que una ecuación es lineal si se puede escribir en la forma

2

+

2

+

+

2

+

24

2

En esta última ecuación, vemos las dospropiedades características de las ecuaciones diferenciales lineales: i) La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, la potencia de todo término donde aparece y es 1. Cada coeficiente sólo depende de , que es la variable independiente. ii) Las funciones de como sen y o las funciones de las derivadas de y, como ( no puede aparecer en una ecuación lineal. Cuando unaecuación diferencial no es lineal, se dice que es no lineal. Las ecuaciones 2 + 4 =000 00 + 4 =00 00 + 4 son

ecuaciones lineales de primer, segundo y tercer orden, respectivamente.

1.2 Solución de las ecuaciones diferenciales
Cuando una función , definida en algún intervalo , se sustituye en una ecuación diferencial y transforma esa ecuación en una identidad, se dice que es una solución de laecuación en el intervalo. En otras palabras, una solución de una ecuación diferencial ordinaria, como la ecuación 2 4 = es una función con al menos derivadas y , 2 Se dice que 4 2 cerrado, , Ejemplo.: Comprobar que 4 0
1

2

2 4 = para todo

en .

2 satisface la ecuación diferencial. El intervalo puede ser intervalo abierto, , infinito, d x2 , etcétera.

y

es una solución de laecuación no lineal. 4
e

En el intervalo

x x 2.

Solución.- Un modo de comprobar que la función dada es una solución escribir la ecuación diferencial en la forma para toda en el intervalo. Con,
e

4 =, y ver, después de sustituir, si la suma 4
y

e

es cero

4
e

y 4
e

)

4

1

y

2) 4

)

Para todo número real. Obsérvese que de
e y .

es, por definición, la...