Ecuaciones diferenciales

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Septiembre del 2009 Ivonne Cancino Sánchez

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE
LA POBLACIÓN

P  t  : Número de habitantes de una población en el tiempo "t".
dP kP dt

donde k es constante de proporcionalidad

EJEMPLO: Suponga que la población de la Tierra cambia a una velocidad proporcional a la población actual. En el tiempo t  0 (año 1650) la población es de 2,5 108 habitantes. Para el tiempo t  300 (año 1950) la población será de 2,5 109 habitantes.Suponiendo que la mayor cantidad de habitantes que puede soportar el planeta Tierra es de 2,5 1010 ¿Cuándo se alcanzará ese límite? Solución: Datos:  P  0  2,5 108
dP dP kP   kdt dt P

 P  300   2,5 109


 P  ?  2,5 1010





dP  k  dt  ln P  k  t  C0  P  e k t C0 P

 P  e k t  eC0  donde eC0  C  P  t   C  e k t

Se reemplaza el dato inicial(tiempo cero) en la ecuación resultante, para obtener el valor de la constante C .
P  t   C  ek t  P  0   C  ek 0
1

 C  2,5 108  P  t   2,5 108  ek t

Luego, se reemplaza el dato con un tiempo dado en la ecuación P  t  , para obtener el valor de la constante de proporcionalidad k .
P  t   2,5  108  ek t  P  300   2,5  108  e k 300  2,5  109  2,5 108  e k 300  e300 k  10  300k  ln 10   k  ln 10  300  k  7,68  10 3  P  t   2,5 108  e7,6810
3

t

Finalmente se trabaja con la ecuación P  t  para obtener el tiempo "t " en que la población de la tierra será de 2,5 1010 habitantes.
P  t   2,5  108  e7,6810  e7,6810
3 3

t

 P  ?   2,5  108  e7,6810

3

t

 2,5  1010  2,5  108 e7,6810 ln 100  7,68  10
3

3

t

t

 100  7,68  10 3  t  ln 100   t 

 t

ln 100  7,68  103

 t  600

Respuesta: El límite de habitantes que puede soportar la Tierra se alcanzará en el año 2250.

DESINTEGRACIÓN RADIOACTIVA


Q  t  : Masa del material radioactivo en el tiempo "t".
dQ  k Q dt

donde k es constante de proporcionalidadEJEMPLO: La desintegración radiactiva se caracteriza por la semivida o número de años que deben transcurrir para que se desintegren la mitad de los átomos iniciales de una muestra. La semivida del isótopo Plutonio (Pu239) es de 24360 años. Suponiendo que en el accidente de Chernóbil se liberaron 10 gramos de dicho isótopo, y sabiendo que el ritmo de desintegración es proporcional a la masa ¿cuántotiempo hará falta para que quede sólo un gramo? Solución: Datos:  Q  0  10 grs.
dQ dQ  k Q   kdt dt Q

 Q  24360  

Q  0 2

 5 grs.

 Q  ?  1 gr.







dQ  k  dt  ln Q  k  t  C0  Q  e k t C0 Q

 Q  e k t  eC0  donde eC0  C  Q  t   C  e k t

Se reemplaza el dato inicial (tiempo cero) en la ecuación resultante, para obtener el valor de laconstante C .
Q  t   C  ek t  Q  0   C  ek 0
1

 C  10  Q  t   10ek t

Luego, se reemplaza el dato con un tiempo dado en la ecuación Q  t  , para obtener el valor de la constante de proporcionalidad k .
Q  t   10e k t  Q  24360   10e k 24360  5  10e 24360 k  e24360 k  1 2

1 ln   5 2 1  24360k  ln    k     k  2,85  10 5  Q  t  ...