Ecuaciones diferenciales

EcuacionesDiferenciales LinealesHomogeneas
con Coeficientes Constantes
De entre las ecuaciones más sencillas de resolver se encuentran las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes
constantes. Para estudiar el método de solución de estas, lo dividiremos en dos partes: ecuaciones homogeneas y no
homogeneas.
Ecuaciones Homogeneas
Para comprender el proceso de solución de estasecuaciones comenzaremos tratando el caso de ecuaciones de
segundo orden que nos permitirá abordar la forma más general de soluciones.
Solución de ecuaciones de segundo orden
Deseamos encontrar la solución de una ED de segundo orden homogenea con coeficientes constantes
ay00 + by0 + cy = 0 (1)
Si suponemos que la solución de esta es una función
y (x) = emx
entonces, esta debe de satisfacer a laED, es decir
y0 = memx
y00 = m2emx
sustituyendo en la ecuación (1)
am2emx + bmemx + cemx = 0 ¡
am2 + bm + c
¢
emx = 0
Esta última ecuación se cumple siempre y cuando
am2 + bm + c = 0 (2)
A este polinomio se le conoce como ecuación auxiliar o polinomio auxiliar.
Al resolver este polinomio cuadrático podemo distinguir tres tipos de soluciones y en consecuencia se tendrán
tres tiposdiferentes de soluciónes para la ecuación diferencial (1): para distinguirlas utilizamos el radicando en la
solución general de las cuadráticas
m = −b ± √b2 − 4ac
2a ⇒ D = b2 − 4ac
1
al cual llamaremos discriminante y él nos indica el tipo de soluciones que tenemos para el polinomio:
D > 0
Raíces Reales Diferentes
D = 0
Raíces Reales Repetidas
D < 0
Complejas Conjugadas
m1 = −b−√b2−4ac
2am2 = −b+√b2−4ac
2a
m = −b
2a m = −b
2a ± i
√b2−4ac
2a

 →
α = Re(m)
β = |Im (m)|
CFS
y1 (x) = em1x
y2 (x) = em2x
CFS
y1 (x) = emx
y2 (x) = xemx
CFS
y1 (x) = eαx cos (βx)
y2 (x) = eαx sin (βx)
Solución General
y (x) = C1y1 + C2y2
= C1em1x + C2em2x
Solución General
y (x) = C1y1 + C2y2
= C1emx + C2xemx
Solución General
y (x) = C1y1 + C2y2
= C1eαx cos (βx) + C2eαx sin(βx)
= eαx (C1 cos (βx) + C2 sin (βx))
(3)
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1 Encuentre la solución general de la siguiente ecuación diferencial
y00 +3y0 − 4y = 0
Solción 2 Encontrando el polinomio auxiliar, discriminante y raíces
m2 + 3m −4 = 0
D = 32 − 4 (1) (−4) = 25 > 0
m1 = −4
m2 = 1
por lo que tendremos el caso de raíces reales diferentes(ver tabla 3), donde el CFS es
y1 (x) = e−4x
y2 (x)= ex
y por lo tanto la solución general está dada por
y (x) = C1e−4x + C2ex
Ejemplo 3 Encuentre la solución del PVI
3y00 − 5y0 − 2y = 0 y (0) = 2, y0 (0) = 0
Solción 4 Encontrando el polinomio auxiliar, discriminante y raíces
3m2 − 5m −2 = 0
D = (−5)2 − 4 (3) (−2) = 49 > 0
m1 = −
1
3
m2 = 2
por lo que tendremos el caso de raíces reales diferentes (ver tabla 3), donde el CFS es
y1 (x)= e− 1
3 x
y2 (x) = e2x
2
y por lo tanto la solución general está dada por
y (x) = C1e−13
x + C2e2x
Aplicando condiciones iniciales
y (0) = 2
y0 (0) = 0 →
C1 + C2 = 2
−1
3 C1 +2C2 = 0 →
C1 = 12
7
C2 = 2
7
por lo que la solución al PVI será
y (x) =
12
7
e− 1
3 x +
2
7
e2x
Ejemplo 5 Encuentre la solución general de la siguiente ecuación diferencial
y00 − 4y0 +4y = 0Solción 6 Encontrando el polinomio auxiliar, discriminante y raíces
m2 − 4m+4 = 0
D = (−4)2 − 4 (1) (4) = 0
m = 2
por lo que tendremos el caso de raíces reales repetidas (ver tabla 3), donde el CFS es
y1 (x) = e2x
y2 (x) = xe2x
y por lo tanto la solución general está dada por
y (x) = C1e2x + C2xe2x
Ejemplo 7 Encuentre la solución del PVI
9y00 − 6y0 + y = 0 y (1) = 0, y0 (1) = −1
Solción 8Encontrando el polinomio auxiliar, discriminante y raíces
9m2 − 6m +1 = 0
D = (−6)2 − 4 (9) (1) = 0
m =
1
3
por lo que tendremos el caso de raíces reales repetidas (ver tabla 3), donde el CFS es
y1 (x) = e
1
3 x
y2 (x) = xe
1
3 x
y por lo tanto la solución general está dada por
y (x) = C1e
1
3 x + C2xe
1
3 x
Aplicando condiciones iniciales
y (1) = 0
y0 (1) = −1 →
C1e 1
3 +...