Ecuaciones diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
Objetivos:
* Comprender la importancia de las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden.
* Entenderá el Método de las Características para resolver una ecuación diferencial parcial.
* Explicará los casos de las ecuaciones lineales, cuasi-lineales y de Hamilton-Jacobi.
* Podrá clasificar las ecuaciones diferenciales parciales linealesde segundo orden, a partir de los coeficientes de una ecuación.
* Identificará situaciones físicas que pueden ser modeladas con las principales ecuaciones diferenciales parciales de la física-matemática, tales como la ecuación de Laplace, la ecuación de Poisson y la ecuación de difusión.
* Utilizar los sistemas de ecuaciones diferenciales para modelar fenómenos físicos,biológicos, etc.
* Interpretar las soluciones de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales en el contexto del fenómeno que están modelizando. 
* Aplicar  los métodos de la teoría cualitativa en el estudio de los sistemas autónomos.
* Comprender el concepto de ecuación diferencial en derivadas parciales.
* Interpretar  físicamente las soluciones de las ecuaciones en derivadasparciales.
* Dar un significado físico a las condiciones iniciales y condiciones de frontera correspondientes a fenómenos modelados por  ecuaciones en derivadas parciales.
* Comprender los conceptos y métodos del cálculo diferencial e integral correspondiente a funciones de variable compleja. 

Introducción:
Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:
* es una ecuacióndiferencial ordinaria, donde es la variable dependiente, la variable independiente es la derivada de con respecto a .
* La expresión es una ecuación en derivadas parciales.
A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuacióndiferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).
Concepto:
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuacionesdiferenciales se dividen en:
* Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquéllas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
* Ecuaciones en derivadas parciales: aquéllas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.
Definición:
Se llama ecuación diferencial a toda ecuación que involucre una función desconocida y alguna de sus derivadas.
Sea f una función definida enel intervalo cerrado
y si existe el
y es único para cualquier subdivisión del intervalo
en “n” subintervalos de la forma
con amplitud
y para cualquier elección de
tal que
siendo
Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variablesindependientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria , por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial . |

La frase de manera no trivial que hemos usado en la definición anterior tiene como propósito descartar ecuaciones diferenciales que satisfacen la definición, pero son realmente identidades, es decir, son siempreverdaderas sin importar quién sea la función desconocida. Un ejemplo de tal tipo de ecuaciones es:

Esta ecuación es satisfecha por cualquier función en una variable que sea derivable. Otro ejemplo es

Es claro que lo que está detrás de esta ecuación es la fórmula notable ; por lo que la ecuación es satisfecha por cualquier función derivable.
Nuestra atención se centrará sobre ecuaciones...