Ecuaciones diferenciales

• Introducción a las Ecuaciones Diferenciales La construcción de modelos matemáticos para tratar los problemas del mundo real se ha destacado como uno de los aspectos más importantes en el desarrollo teórico de cada una de las ramas de la ciencia. Con frecuencia estos modelos implican una ecuación en la que una función y sus derivadas desempeñan papeles decisivos. Tales ecuaciones son llamadasecuaciones diferenciales. Como en la ecuación (x2 + y2) dx − 2xy dy =0, una derivada puede estar presente de manera implícita a través de diferenciales. La meta es de encontrar Métodos para resolver tales ecuaciones, esto es, determinar la función o funciones desconocidas que satisfagan una ecuación diferencial. Definición y terminología: Definición: Una ecuación diferencial es una ecuación queinvolucra derivadas de una función desconocida o una o más variables. Ejemplos: • • • ( x2 + y2 ) dx −2xy dy = 0 • •

Clasificación: Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con su tipo, orden y linealidad. • Según el Tipo: Se clasifican, en ecuación diferencial ordinaria y en ecuación diferencial en derivadas parciales. • Ecuación diferencial ordinaria: la función desconocida dependede una sola variable. Ejemplos: a). •

c). • Ecuación diferencial en derivadas parciales: La función desconocida depende de más de una variable. Ejemplos:

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• f es la variable desconocida. • Cuando una ecuación involucra a una o mas derivadas con respecto a una variable en particular, tal variable es llamada independiente. Una variable es dependiente si aparece una derivada de esavariable. En la ecuación: i es la variable dependiente, t la variable independiente Y, L, R, C, E y W son llamadas constantes o parámetros. • Según el Orden: Orden: El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el grado de la derivada más alta (exponente). Ejemplos: • • • • • Según la linealidad o no linealidad: Se dice que una ecuación diferencial es lineal si es de laforma: donde son coeficientes de x. Las ecuaciones diferenciales lineales se caracterizan por dos propiedades: • La variable dependiente Y junto con todas sus derivadas son de primer grado. • Cada coeficiente depende sólo de la variable independiente x. Ejemplos: Ecuaciones diferenciales lineales. • Se dice que una ecuación diferencial no lineal es una ecuación diferencial ordinaria que no cumple conlas condiciones de linealidad o propiedades de linealidad. Ejemplos de Ecuaciones diferenciales no lineales. • • 1er Orden

Problemas de Valor inicial:

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Considere la ecuación diferencial sujeta a Una función desconocida f (x. y) se desea determinar una curva solución que pase por el punto . En realidad son problemas con condiciones pobre la función desconocida especificada en un valor dela variable independiente. Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial. • • , sujeta a y(1)= 3 ; y'(1) = 4 el número uno (1) es la variable independiente 1− Ecuaciones diferenciales como modelos Matemáticos: Una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales es un modelo matemático. Ejemplos: • Uno de los primeros intentos de modelar matemáticamente el crecimiento demográfico humano.La tasa de crecimiento de la población de un País crece en forma proporcional a la población total, P (t), de ese país en cualquier momento t. En términos matemáticos

Razón de cambio de la población con respecto al tiempo. P (t) Población.

=KP • Para modelar el fenómeno de la desintegración radiactiva, se supone que la tasa con que los núcleos de una sustancia se desintegran (decaen) esproporcional a la cantidad A(t) de sustancia que queda al tiempo t.:

Una vez formulado el modelo matemático, llegamos al problema de resolverlo, que no es fácil en modo alguno. Hay que aprender las diferentes formas de resolver una ecuación diferencial. • Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden: Una Ecuación diferencial de primer orden es de la forma o se puede escribir como F (y , y' )= 0...