Ecuaciones diferenciales

Instituto Tecnológico de Lerma

MATEMÁTICAS V
Ing. Ramón Espejo Reyes, M.C.

Unidad I
Contenido:

* Investigación: Ecuaciones Diferenciales (definiciones).
* Reseña correspondiente a la primera unidad.
* Ensayo correspondiente a la primera unidad.

O.O.A. William Del Jesús Ruiz Noh.
VI Semestre Ing. Electrónica.

San Francisco de Campeche, Campeche a 8 de febrero de 2010

DefinicionesEcuación diferencial: Es aquella ecuación, en la que en sus términos hay derivadas. Por ejemplo:
d2ydx2+2dydx+3y=0
Las ecuaciones diferenciales, se clasifican de acuerdo a su tipo, orden y grado.
Existen dos tipos de ecuaciones diferenciales, los cuales son:
* Ecuación diferencial ordinaria: Contiene derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una sola variableindependiente.

* Ecuación diferencial parcial: Contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes, con respecto a dos o más variables independientes.
El orden de una ecuación diferencial, es la derivada de mayor índice que se presente en la ecuación.
El grado es la potencia a la que esta elevada la derivada de mayor índice, siempre y cuando, la ecuación este dada en forma polinomial.
Deacuerdo al grado, se clasifican en dos tipos:
* Lineales: aplica en dos casos A) la variable dependiente “y” y todas sus derivadas, son de primer grado. B) cada coeficiente de “y” y sus derivadas, dependen solamente de la variable independiente “x”, que puede ser constante.

* No lineales: las que no cumplen las propiedades anteriores.

Reseña

La siguiente reseña está basada en el libro de“Métodos de solución de ecuaciones diferenciales y aplicaciones”.
Una ecuación diferencial es cualquier ecuación que en su estructura presenta derivadas.
El mismo libro cita que las diferenciales se clasifican de acuerdo el tipo, orden y grado.
Según el tipo, se clasifican en: Ecuaciones diferenciales Ordinarias y Ecuaciones Diferenciales Parciales.
Las ordinarias contienen derivadas de una o másvariables dependientes con respecto a una sola variable independiente. Es decir cualquier ecuación que presente derivadas con respecto a una sola variable independiente.
Mientras que las parciales contienen derivadas parciales de una o más variables dependientes, respecto a dos o más variables independientes. Son derivadas dobles o aquellas que tienen más de dos variables independientes.
Según elgrado se clasifican en lineales y no lineales, siempre y cuando la ecuación diferencial esté dada en forma de polinomio.
Las lineales, solo son aquellas en las que las derivadas son de primer grado, y las no lineales, no cumplen con esa característica.
El orden es la derivada de mayor índice de derivación.
Las soluciones que se le puede dar son de dos tipos, general y particular, la general es laprimera solución que obtenemos, mientras que la particular la obtenemos al asignarle valores específicos.
El problema de valor inicial, es únicamente resolver una diferencial con valores iniciales, los cuales sirven para comprobar el resultado.
El teorema de existencia, consiste hacer que las graficas de las ecuaciones, sean continuas y acotadas en cierto punto, mientras que el teorema deunicidad, se basa en que la parcial y el resultado de la función, sean continuos y acotados en la grafica en un punto R.
Las variables separables, es un método algebraico utilizado para la resolución de una diferencial, que consiste en separar las variables, creando diversas constantes, mismas que se utilizan para realizar el método de reducción; que consiste en reducir las constantes resultado de lamanipulación de la ecuación original.
Las ecuaciones exactas, son aquellas en las que el resultado de la derivada, y el resultado de la parcial, crean una igualdad, en caso contrario son ecuaciones inexactas, por lo que se utiliza el factor de integración, que consiste en agregarle una integral a la ecuación, para tratar de convertirla en una exacta.
Las ecuaciones lineales son aquellas en las...