Ecuaciones diferenciales

Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes
Definicion
Las ecuaciones lineales homogeneas , donde las coeficientes y b son constantes. Este tipo de ecuación se resuelve ya sea porseparación de variables o con ayuda de un factor de integración, pero hay otro metodo de solución, uno en el que solo se utiliza algebra. Al observar bien podemos ver que al despejar de la ecuaciónse obtiene , donde k es una constante. Ahora el nuevo metodo de una solución: si se sustituye y en se obtiene o bien como nunca es cero para valores reales de x, la última ecuación se satisfacesolo cuando m es una solución o raíz de la ecuacion polinomial de primer grado para este unico valor de m es una solucion de la ED. En esta seccion se vera que el procedimiento que se vioanteriormente genera soluciones exponenciales para ED lineales homogeneas de orden superior:

donde los coeficientes
, i=0,1.......,n son constantes reales y
ECUACION AUXILIAR
se empiea porconsiderar el caso especial de la ecuacion de segundo orden:


donde a,b y c son constantes. si se intenta encontrar una solucion de la forma entonces despues de sustituir y por lo que al sustituirquedara:


como ya se habia definido que para toda x evidente entonces la unica forma es cuando se elige a m como una raiz de la ecuacion cuadratica


esta ultima ecuacion se llamaecuacion auxiliar de la ecuacion auxiliar ya mencionada. Como las dos raices son y habra 3 formas de la solucion general que corresponde a: a.) y reales y distintas
b.) y reales e iguales
c.) yson numeros conjugados complejos
se analiza cada uno de estos pasos a su vez
CASO I "RAÍCES REALES Y DISTINTAS"
bajo la suposicion de que la ecuacion tienes dos raices desiguales y , sedefinen dos soluciones y . se ve que estas funciones son linealmente independientes en y por consiguiente forman un conjunto fundamental. Se deduce que la solucion general de la ED en este intervalo...