Ecuaciones diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES

TEMARIO
UNIDAD 1
1. Ecuaciones diferenciales.
2.1. Definición de ecuación diferencial.
2.2. Origen de las ecuaciones diferenciales.
2.3. Solución de una ecuación diferencial.
UNIDAD 2
2. Ecuaciones diferenciales homogéneas.
3.4. Ecuaciones diferenciales de variables separables.
3.5. Ecuaciones diferenciales exactas.3.6. Ecuaciones de Vernoulli.
3.7. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden.
UNIDAD 3
3. Ecuaciones diferenciales de orden superior.
4.8. Ecuación homogénea y no homogénea.
4.9. Solución de una ecuación diferencial a partir de una solución conocida.
4.10. Ecuaciones de Cauchy Euler.
4.11. Series de potencia.
UNIDAD 4
4. Transformadade Laplace
5.12. Definición de transformada de Laplace.
5.13. Transformada directa e inversa.
5.14. Solución de un sistema de ecuaciones con transformada de Laplace.

INTRODUCCION: EJERCICIOS DE INTEGRALES Y FRACCIONES PARCIALES
Resuelva las siguientes integrales:
1) 103 x3 dx =
103 x44 dx =
1012 x4+ c

2) cos3x dx = u = 3x du = 3
3 cos 3x dx=
13cos 3x dx=
13 sen3x+c

3) sen 5x2 dx = u = 5x2 du = 10x
10x sen 5x2 dx =
110x-cos5x2 dx=
-110 x cos5x2+ c

4) 102x+13 dx u = 2x + 1 du = 2
210u3 dx =
1210u3 dx=
102u-3 dx=
102 u-2-2 =
-104 u-2=
-104 u2=
-104 2x+12+ c

5) 85x3 dx por fórmula au du= aulna+ c
u = 5 x3 du = 15 x2
15x2 85x3 dx=
115 x2 85x3ln8 =
85x3ln8 15 x2+ c

Resuelva las siguientes integrales por fraccionesparciales:
1) 3x2+ 6x (x-1)(x+2) dx =
Ax+ Bx-1+ Cx+2 =
A x-1x+2+B xx+2+C xx-1 =
3x2+ 6=A x2+ 2x-x-2+B x2+ 2x+C x2- x
3x2+ 6=Ax2+ 2Ax-Ax-2A+Bx2+ 2Bx+Cx2- Cx
3x2+ 6= x2 A+B+C+ Ax-2A+2Bx-Cx
A+B+C=3 A+2B-C=0 -2A=6
-2A=6 A= 6-2 A=-3
A+B+C=3 -3+B+C=3 B+C=6 B=6-C
A+2B-C=0 -3+26-C-C=0 -3+12-2C-C=0
9-3C=0 -3C=-9 C=-93=3
A+B+C=3 -3+B+3=3 B=3
3x2+6xx-1x+2=Ax+Bx-1+cx+2=
-3x dx+3x-1dx+3x+2dx=3dxx+3dxx-1+3dxx+2=
-3 ln x+3lnx-1+3 ln x+2+c

2) 10x+5x+6x-2dx=
Ax-2+Bx+6=Ax-2A+Bx+6B
10x+5=xA+B-2A+6B
a) 10=A+B b) 5=-2A+6B
Resolvemos por eliminación multiplicando la ecuación “a” por 2
2A+2B=20 A+B=10
-2A+6B=5 A+258=10
8B=25 A=10-258
B=258 A=558
Ax+6+Bx-2=55/8x+6dx25/8x-2dx=
558dxx+6+258dxx-2=
u=x+6 u=x-2
du=1 du=1
558lnx+6+258lnx-2+c

3) 3x5 (5x+3)3 dx
3x55x3+35x23+35x32+33=
3x55x3+325x23+35x9+27=
3x5125x3+225x2+135x+27=
375x8+675x7+405x6+81x5=
375x8+675x7+405x6+81x5=
3759x9+6758x8+4057x7+81656+c

UNIDAD 1. ECUACIONES DIFERENCIALES

1.1. Definición de ecuación diferencial.
Concepto: Se define a una ecuación diferencial como aquella que contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variablesindependientes. Una ecuación diferencial se representa de la siguiente manera:
dydx + xy=0
dxdt+ dydx+ 3x=sen x 1er. Orden
d2 xd2 t 2do. Orden.
d3xd3 t 3er. Orden.

1.2. Origen de las ecuaciones diferenciales.
INTRODUCCION: Desde hace muchos años (1887) el físico y matemático francés Bernard Laplace aplico a un problema geográfico el Cálculo integral y el Cálculo diferencialobservando que podía encontrar la variable independiente, a este proceso de elaboración le llamo “ECUACION DIFEREN-INTEGRAL”. En el año de 1915 el matemático alemán Wronskiano elaboro un procedimiento para separar las ecuaciones en una forma total y parcial modificando el nombre a “ECUACIONES DIFERENCIALES”.

1.3. Solución de una ecuación diferencial.
Como primer paso se debe de escribir laecuación en su forma diferencial, es decir, los términos de “y” con la diferencial de “y” y los términos de “x” con la diferencial de “x”. Como segundo paso se debe integrar ambos términos. Como paso 3 se encuentra el valor de “y”. Cabe señalas que no siempre se puede encontrar el término “y” o la variable “y”.

Ejemplo: Resuelva la siguiente ecuación diferencial.

1) dydx= 6x22y + cosy...