Ecuaciones diferenciales

CAPÍTULO 6.

Ecuaciones Diferenciales Parciales

Análisis Matemático para Ingeniería

Contenido
Forma general de una EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soluciones clásicas de EDP. Los espacios Ck EDP’s como modelos matemáticos . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuación de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Laecuación de difusión. La ecuación del calor . . . . . . . . Ecuación de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La ecuación de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Método de separación de variables . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

172

. . . . . . . . 173 175 175 176 177 177 178 183

Mayorga Zambrano, J.

173Forma general de una EDP

Ecuaciones Diferenciales Parciales

12 Lawrence C. Evans. Partial differential equations, volume 19 of Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, 1998. ISBN 0-82180772-2

La utilidad de las ecuaciones en derivadas parciales yace en que permiten modelar matemáticamente una gran variedad de procesos o fenómenos en diferentes áreascomo Física, Economía, etc. Presentamos aquí una breve introducción a las Ecuaciones Diferenciales Parciales. Un libro de texto excelente y con una presentación moderna es 12 . Definición 6.1. Una Ecuación Diferencial Parcial (EDP) es una ecuación diferencial que involucra una función incógnita que depende de dos o más variables y de sus derivadas. Por su asociación con modelos matemáticos, en lasEDP’s se acostumbra separar a la variable temporal, t, de las demás variables, x = ( x1 , x2 , ..., xn ).

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= 0,

t ∈ [0, ∞), ( x, y, z) ∈ Ω; (6.1)

se le conoce como la ecuación del calor. 6.1 Forma general de una EDP En su forma más general, una EDP se escribe como F
Recuérdese que D1 u = ∇u es el gradiente de u y que D2 u es la matriz Hessiana de u.t, x, u; D k u, D k−1 u, ..., Du;

∂ l u ∂ l −1 u ∂u , , ..., l ∂tl −1 ∂t ∂t

= 0,

(6.2) para (t; x ) ∈ I × Ω, donde I ⊆ R es un intervalo y Ω es una región de R n . A I se le conoce como el dominio temporal de la EDP y a Ωseleconocoecomoel dominio (espacial) de la EDP. Por Dr u se denota la derivada de orden r ∈ N ∪ {0} de u con respecto a x = ( x1 , x2 , ..., xn ). Dos casos de (6.2)son particularmente importantes: se dice que la EDP es de evolución si l = 1; ii) se dice que la EDP es estacionaria si u no depende de t. iii) Se dice que la EDP es lineal si F es lineal; caso contrario se dice que la EDP es no-lineal.
i)

La ecuación de Schrödinger es esencial para el estudio de la Mecánica Cuántica.

Observación 6.1. Por lo general, resolver (analítica o numéricamente) unaEDP lineal es mucho más fácil que resolver una EDP no-lineal.

Mayorga Zambrano, J.

Esta ecuación permite estudiar la difusión de sustancias a través de un medio continuo; e.g. la difusión del humo de cigarillo en el aire. Administrando la EDP se puede diseñar apropiadamente las áreas de fumadores en bares, aeropuertos, etc.

Ejemplo 6.1. Sea Ω ⊆ R3 . A la EDP ∂u − ∂t ∂2 u ∂2 u ∂2 u + 2+ 2∂x2 ∂y ∂z

EDP’s como modelos matemáticos

Ecuaciones Diferenciales Parciales

Ejemplo 6.2. La ecuación del calor (6.1) es una EDP lineal. Ejemplo 6.3. Es lineal la ecuación de Schrödinger (véanse e.g. 13 , 14 ):
2 ∂Ψ (t, x ) = − ΔΨ + V ( x ) Ψ(t, x ), ∂t 2m para t ∈ [0, ∞), x ∈ Ω ⊆ R n .
L. Landau and E. Lifshitz. Quantum Mechanics (Non-relativistic theory). Series in Theoretical Physics.Pergamon Press Ltd., New York, 1965
14 P. Felmer and J. Mayorga-Zambrano. Multiplicity and concentration for the nonlinear Schrödinger equation with critical frequency. Nonlinear Analysis, 66/1:151–169, 2007 13

i

6.2 Soluciones clásicas de EDP. Los espacios Ck Cuando se trata de resolver la EDP

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F

t, x, u; D k u, D k−1 u, ..., Du;

∂ l u ∂ l...