Ecuaciones diferenciales

Ecuaciones de primer grado

-Una ecuación de primer grado con una incógnita es cualquier ecuación que se puede expresar de la forma ax + b = 0, con a distinto de 0. La solución es x = -b/a
- Las ecuaciones se clasifican atendiendo al número de incógnitas y al grado de éstas. Las ecuaciones de primer grado con una incógnita se denominan así porque: Tienen una única incógnita.

-En laresolución de un problema mediante ecuaciones de primer grado, conviene seguir cuatro pasos: comprender el enunciado, plantear el problema mediante una ecuación, resolver la ecuación y comprobar que la solución cumple las condiciones del problema.
Ecuación diferencial ordinaria de primer orden
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación diferencial ordinaria dónde intervienenderivadas de primer orden respecto a una variable independiente. Estas ecuaciones, junto con su condición inicial, se pueden encontrar expresadas en forma explícita:

o en su forma implícita:


Ecuaciones con Variables Separables: Son ecuaciones de la forma:

Las cuales se puede resolver así:
Separar las variables. Esto significa que los términos relativos a la variable dependiente quedena un lado de la igualdad y en el otro los que representan a la otra variable. Por tanto:

Integrar ambos miembros de la igualdad aplicando los métodos de integración.

Ecuaciones Homogéneas: Son ecuaciones de la forma:
•
Las cuales se puede resolver mediante el siguiente conjunto de pasos, que será llamado de aquí en adelante ALGORITMO HOMOGÉNEO.
Aplicar el criterio de homogeneidad.Para ello basta con:
Denotar el coeficiente de dx con M(x,y) y el coeficiente de dy con N(x,y).
Verificar si son homogéneas, aplicando las siguientes igualdades:
• M(x,y)= nM(x,y)
• N(x,y)= nN(x,y)
Para 1 y 2, los exponentes deben ser iguales y tanto M(x,y) como N(x,y), no quedan afectados del factor k.
Hacer el siguiente cambio de variable:
• y=vx (I)
Derivar (I), obteniéndose:• dy=vdx+xdv (II)
Sustituir las expresiones (I) y (II) en la ecuación diferencial dada.
• Aplicar propiedad distributiva y agrupar términos semejantes.
• Aplicar el método de Variables Separables

Ecuaciones Exactas: Son ecuaciones de la forma:
•
Donde M(x,y) y N(x,y), son funciones continuas que verifican la siguiente igualdad: = (III)
Estas ecuaciones pueden resolverse medianteel siguiente conjunto de pasos, que será llamado de aquí en adelante ALGORITMO EXACTO.
• Denotar el coeficiente de dx con M(x,y) y el coeficiente de dy con N(x,y).
• Verificar que se cumple (III)
• Hallar una función auxiliar F. Para ello basta con integrar a M(x,y),con respecto a x. Así:

• Derivar parcialmente a F e igualar este resultado con N(x,y), es decir: N(x,y)
• Despejar elfactor y calcular f(y), integrando la expresión obtenida en el despeje.
• Sustituir f(y) en la expresión obtenida, anteriormente, para F y realizar las operaciones algebraicas que aparezcan para construir una respuesta lo mas simplificada posible.
Factores integrales
Las ecuaciones diferenciales exactas son relativamente inestables, por decirlo de alguna manera, ya que la exactitud exige unbalance en la forma de la ecuación diferemcial, balance que se destruye bajo pequeñas modificaciones, por ejemplo, la siguiente ecuación diferencial



es exacta, pues



Sin embargo, al multiplicarla por el factor , la ecuación /refedo2:eq1 se transforma en

(

la cual no es exacta.
Observación: podemos invertir la situación, al multiplicar la ecuación 1.4 por el factorobtenemos la ecuación diferencial 1.3, la cual es exacta. En tales circunstancias, es razonable preguntarse: ¿ hasta qué punto se puede convertir en exacta una ecuación diferencial que no lo es ?. En otras palabras, si la ecuación



no es exacta, ¿ bajo qué condiciones se puede encontrar una función con la propiedad de que



sea exacta ?. Cualquier función que actúe de este modo se...