Ecuaciones diferenciales

UNIDAD I ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
1.1.- DEFINICIÓN (ECUACIÓN DIFERENCIAL, ORDEN, GRADOS, LINEALIDAD)
Lim (2z+3k)3 - 4k2z 8z 8z3

=1
=1
2z (4z2 ) 8z3
K 0 2z (-4z - k)2

Si y = 4 + 3x – 2x3 dydx=? U=a – x V=a + xdu=-1 dv=1
Y = a-xa+x y fx=2x(a+x)2 =-a+x-1-(a-x)(1)(a+x)2 = -a-x-a+x(a+x)2 = 2a(a+x)2

Definición de Ecuación Diferencial (ED)
Se denomina (ED) Ordinaria a una ecuación de la forma (x, y, y´, y”, y“’, … yn) que liga la variable independiente X, la función buscada y=y(x) y las derivadas de estos y’(x), y’’(x), y’’’(x), … yn(x) es obligatorio que haya una derivada.
Y’ + 4x = 0 por que por lo menospor que solo hay si = 0 EDO Homogénea
dydx + 4x = 0 hay 1 derivada 1 variable si ≠ 0 EDO no Homogénea

Cuando la ecuación diferencial es función de 2 o más variables independientes, nos enfrentamos con una ED en derivadas parciales
dydx -5y = 1 EDO no H
(x+y)dy -4ydy = 0 ED Parcial H
- dux - dux = x EDO H
- d2ydx2 -2 dydx + 6x = 0 EDO H

ECUACIÓNDIFERENCIAL
Estas aparecen en modelos matemáticos que tratan de describir situaciones de la vida real. Para obtener una ED que describa un problema real, la situación se rige por leyes simples.
Orden de la ED
Corresponde a la DERIVADA de mayor orden presente en la ecuacion dydx-y=0 en una ED Lineal de 1° orden que tiene solución de la forma: y = f(x) = c ex , ɏc £R
d2ydx2 + y = 0 es una EDLde 2° Orden y su solución de la forma: y=f(x)=a Cos x + b Sin X, tal que (a,b)£R

VARIABLES INDEPENDIENTES INVOLUCRADAS
De esta forma se reconoce las EDO cuya solución es una función de tipo
y=f(x) donde hay una sola variable independiente correspondiente a X y la ED en Derivadas Parciales o (EDP) cuya función independiente Z= f(x,y)
әzәx + әzәy=0 ә2vәt2-әvәt=0
Grado de la EcuaciónEs la potencia de la ecuación de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación este en forma POLINOMICA
Ecuación Diferencial Lineal
Se dice que es lineal si tiene la forma: an(x) y(n) +an -1(x)y(n -1) + … + a(x)y’ + o(x)y = g(x)
* Ni la función ni las derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta a 1 o 0
* En cada coeficiente que aparecemultiplicaciones solo interviene la variable independiente
* Una COMBINACIÓN LINEAL de sus soluciones en también de la solución de la ecuación.
y’= y Es una EDO Lineal de 1° orden que tiene como soluciones y=f(x) = k o ex con k como un . numero real cualquiera.
Y’’ + y = 0 Es una EDO Lineal de 2° orden tiene como solución y = f(x) = a Cos(x) + Sin(x) con a y bCLASIFICACIÓN
1.-Tipo EDO no H dydx -5y=1
EDP

EDO H 1°Ord dydx+4y=0
2.-Orden EDO no H 2°Ord 25x d2ydx2+dydx-7y=0
EDO no H 3°Ord d3ydx3+20d2ydx2+13dydx= ex

3.-Igual o no a cero Homogénea = 0
No Homogénea ≠ 0

4.-Lineal ono Lineal an(x) dnydxn+an-1 dn-1ydxn-1+…a0xy=g(x)

Es importante que la ED Lineales se caracterizan por 2 propiedades:
1.- La variable dependiente y, junto con todas sus derivadas son de 1° grado (la potencia de cada termino y es 1)
2.- Cada coeficiente dependiente de la variable independiente x

Clasificar
Y’ = x + y 100 EDO no H 1° orden Lineal
Y’’ + Sen y = 0EDO H 2° orden no Lineal
Y’’ + 2y’ + y =x + 1 EDO no H 2° orden Lineal

01/02/2011
1.2 SOLUCIONES DE LAS ED
Se denomina solución ED de enésimo orden en intervalo (a,b) a toda función y=f(x) que tiene en el intervalo citado derivando asta enésimo orden inclusive y es tal que la sustitución de la función x=f(x) y su derivada de las ED0 reduce la ultima en una identidad respecto de...