Ecuaciones diferenciales

CAPÍTULO

4
Ecuaciones diferenciales de orden superior

4.3 Ecuaciones diferenciales lineales de orden n
En esta sección presentaremos un método general para resolver ED lineales de orden n cuya forma es an .x/y .n/ C C a1 .x/y 0 C a0 .x/y D g.x/: (4.1)

Estas ecuaciones se caracterizan por las dos propiedades siguientes: 1. La variable dependiente y así como sus derivadas tienenexponente igual a 1, o bien 0, exclusivamente. 2. Los coeficientes an .x/; : : : ; a1 .x/; a0 .x/ y la función g.x/ son funciones que sólo dependen de x, o son constantes. Es decir, no dependen de la variable dependiente y. Cabe mencionar que no existen métodos, ni generales ni sencillos que permitan resolver ecuaciones diferenciales no lineales de orden n. ¿Qué hace la diferencia?; la respuesta es simple:poder usar o no el bagaje del álgebra lineal. Ésta es una rama muy útil de las matemáticas donde encontramos las definiciones, conceptos y resultados que nos permitirán resolver el problema general. Así, nuestro estudio pasará obligadamente por algunas de las ideas más importantes de este tema que se presentan a continuación.

4.3.1

Espacio vectorial

Un espacio vectorial consta de unconjunto V , cuyos elementos denotados por v se llaman vectores, y de dos E operaciones: adición vectorial y multiplicación por escalar, que satisfacen a un conjunto de axiomas. No entraremos en el detalle de todos ellos porque, para nosotros, dos axiomas importantes son los siguientes: E 1. Existe un vector en V al que se le llama vector cero y se escribe como 0 tal que v C 0 D v para todo E E E v 2V. E 2. Dados los vectores u; v 2 V y los escalares ˛; ˇ 2 R, entonces ˛ u C ˇ v 2 V . E E E E A esto se le llama cerradura bajo la adición y multiplicación por escalares.
1. canek.azc.uam.mx: 23/ 9/ 2010

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Ecuaciones diferenciales

Los vectores a los que nos hemos referido, así como las operaciones de adición y multiplicación por escalar pueden ser muy diversos, sin embargo, noslimitaremos a los casos habituales en nuestro tratamiento. Ejemplo 4.3.1 Si V D R2 D escalar de la siguiente manera: .a; b/ a; b 2 R y si definimos las operaciones de adición y multiplicación por y ˛.a; b/ D .˛a; ˛b/;

.a1 ; b1/ C .a2 ; b2/ D .a1 C a2 ; b1 C b2 /

obtenemos que V , junto con las operaciones indicadas, es un espacio vectorial. Ejemplo 4.3.2 Si V D un espacio vectorial. .a; b/ a 2R; b 0 y si adoptamos las operaciones del ejemplo (4.3.1), entonces V no es

H En efecto, si tomamos v D .1; 2/ 2 V y el escalar ˛ D 2, por ejemplo, resulta que E ˛ v D 2.1; 2/ D . 2; 4/ … V debido a que la segunda componente del vector es negativa. E y

.1; 2/ 2 V
 

x
 

. 2; 4/ … V

Deseamos resaltar lo siguiente: 1. El concepto de espacio vectorial nos permite dotar a un conjuntocon operaciones que producen resultados que nuevamente satisfacen a las condiciones que definen al conjunto. 2. Si V es un espacio vectorial (con las operaciones de adición y multiplicación por escalar), al vector ˛ u C ˇ v se le llama combinación lineal de los vectores u & v . E E E E Ejemplo 4.3.3 El conjunto de las funciones derivables es un espacio vectorial.

4.3.2

Independencia linealUn vector contiene información. El concepto de independencia lineal nos dirá en cierto sentido si un vector aporta o no información adicional a la ya considerada por un conjunto de vectores. Precisamos: Sea V un espacio vectorial y sean v1 ; : : : ; vn vectores del mismo. Diremos que estos vectores son E E linealmente independientes si c1 v1 C c2 v2 C E E solamente se cumple cuando c1 D c2 D D cn D0. v1 ; : : : ; vn E E es linealmente dependiente. E C cn vn D 0 E (4.2)

En caso contrario diremos que el conjunto de vectores

Supongamos que el conjunto v1 ; : : : ; vn es linealmente dependiente. Esto significa que la ecuación (4.2) E E se cumple para al menos un ci ¤ 0. Si suponemos que c1 ¤ 0. Entonces, de (4.2), hallamos lo siguiente: c2 cn E c1 v1 C c2 v2 C C cn vn D 0 ) v1 D E E E E...