Ecuaciones diferenciales

UNED. ELCHE. TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (2º ECONOMÍA)

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EJERCICIOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES PROPUESTOS EN EXÁMENES

1) Encuéntrese un factor integrante de la forma µ(y) para y(1 + xy)dx – xdy = 0 y resuélvase la ecuación.(Feb 2003) Solución.µ(y)y(1 + xy)dx – µ(y)xdy = 0 será diferencial exacta, luego debe ser ∂ (µ( y) y(1 + xy) ) =∂ (µ( y) x ) ∂y ∂x µ' ( y) 2 efectuando las derivadas y simplificando queda: = − ↔ lnµ(y) = lny–2 ↔ µ(y) = y–2. µ( y) y 1 + xy x dx − 2 dy = 0 es diferencial exacta. Se tiene: Luego: y y ∂F( x , y) 1 + xy x x x2 x F(x,y) = dx = + = − 2 + C' ( y) = − 2 ⇒ C’(y) = 0 ⇒ + C( y ) ⇒ y ∂y y y 2 y

∫

x x2 ⇒ C(y) = K (constante). Luego: F(x, y) = + +K =0 y 2 2.- Explíquese el concepto de factorintegrante. Dar una expresión para la condición que debe cumplir un factor integante que sea función de x·y (Sep. 2003) Respuesta.Consideremos la ecuación diferencial P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0, no exacta. Si existe una función µ(x, y), tal que la ecuación µ P dx +µ Q dy = 0, es exacta , entonces el factor µ(x, y) recibe el nombre de factor integrante de la ecuación diferencial. Si µ es función delproducto xy, hagamos el cambio t = xy. Se tendrá: ∂µ ∂µ = yµ′(t), = xµ′(t) µ = µ(t), ∂x ∂y  ∂Q ∂P  ∂P ∂Q −  = yµ’(t)Q + µ ↔ x µ′(t)P − y µ′(t) Q =µ  Así pues, se cumplirá: xµ’(t)P + µ ∂y ∂x  ∂x ∂y  ∂Q ∂P − µ′(t) ∂x ∂y = deberá ser función del producto xy, que escribiremos f(t). Luego : de donde µ(t) xP − yQ f (t ) dt µ′(t) = f (t) ⇒ µ(t) = C e ∫ µ(t) 3.- Resuélvase la siguiente ecuacióndiferencial: y’’ + 2y' + y = x3 + 6 (Sep. 2003) Solución.El polinomio característico r2 + 2r + 1 tiene la raiz –1, (doble), luego la solución general de la ecuación homogénea es y1 = C1e–x + C2xe–x. Por otra parte una solución particular de la ecuación completa es de la forma y2 = Ax3 + + Bx2 + Cx + D y sustituyendo en la ecuación se obtiene y2 = x3 – 6x2 + 18x –18. Luego la solución es: y = C1e–x +C2xe–x + x3 – 6x2 + 18x –18 4.-Encuéntrese un factor integrante función del producto xy para resolver la ecuación:

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Ejercicios de ecuaciones diferenciales propuestos en exámenes

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ydx + (x – 3x2y2)dy = 0

(Sep. 2003 Res)

Solución.Sea µ = µ(x·y) el factor integrante ⇒µ·ydx + µ·(x – 3x2y2)dy = 0 será diferencial d exacta ⇒ (µ·y) = d (µ·(x – 3x2y2)) ⇒ dy dx

[Para facilitar los cálculos hagamos el cambio de variable x·y = t obsérvese que
escribiremos, para simplificar
d dt µ = µ’; análogamente se obtendría d dx

d dy

µ =

d dt

µ·

d dy

t = x·

d dt

µ;

µ = y·µ’

]
µ' 2 2 =− =− ⇒ µ xy t

⇒ xyµ’ + µ = yµ’(x – 3x2y2)+µ(1–6xy2) ⇒ –3x2y3µ’–6xy2µ = 0 ⇒ ⇒ ln µ = ln(t–2) ⇒ µ =

1 1 = 2 2. 2 t x y Resolvamos la ecuación: 1 1 1 1 ∂F(x, y) 1 1 F(x,y) = dx = dx = − + C(y) ⇒ = − 2 + C'(y) = 2 − 3 ⇒ y x2 xy ∂y x2 y xy xy ⇒ C’(y) = –3 ⇒ C(y) = –3y, luego: 1 F(x,y) = − − 3y = K xy 2 2 5.- Resolver (x + y )dx = xydy. Solución: Escribiendo la ecuación en la forma (x2 + y2 )dx – xydy=0, podemos comprobar ∂P ∂Q − ∂y ∂x − 3 = , la ecuación poseeun factor que no es diferencial exacta. Como Q x µ' − 3 integrante que depende de x: = → lnµ = lnx –3 → µ = x –3 , luego: x µ y  1 y2   + 3 dx − 2 dy = 0 es diferencial exacta, de donde: x x x  y y2  1 y2  f(x,y) =  + 3 dx = ln x − 2 + C( y) . Derivando respecto de y e igualando a − 2 : x 2x x x  −y y + C' ( y) = − 2 → C’(y) = 0 → C(y) = C (constante). Luego la solución es: 2 x x y2 lnx − 2 + C = 0 2x 6.- Resuélvase la siguiente ecuación diferencial: (Feb 2004) yIV+2yIII+2y"+2y’+y = 5ex Solución.La ecuación característica r4 + 2r3 + 2r2 +2r + 1 = 0 admite las soluciones i, –i y –1(doble), luego la solución general de la homogénea es: y1 = C1e–x+C2xe–x+C3cosx+C4senx Una solución particular de la ecuación completa será de la forma y2 = Aex.

∫

∫

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