Ecuaciones diferenciales
Páginas: 45 (11203 palabras)
Publicado: 27 de junio de 2011
n=0
es convergente .
Todo intervalo de convergencia tiene un radio de convergencia R.
Un ive
Una serie de potencias converge absolutamente en un n´mero x si, u
∞
n=0
rsid
|Cn | |x − a|n
169
ad
Toda serie de potencias tiene un intervalo de convergencia que consiste de todos los puntos para los cuales la serie es convergente.
de
An
tioq
∞
Cn (x − a)n .uia
Una serie de potencias en (x − a), es una expresi´n de la forma o
,D
ept
5.1.
INTRODUCCION
o. d
eM
atem
SOLUCIONES POR SERIES
atic
CAP´ ITULO 5
as
CAP´ ITULO 5. SOLUCIONES POR SERIES Una serie de potencias converge absolutamente para |x − a| < R y diverge para |x − a| > R. Cuando R = 0, la serie s´lo converge en x = a. o Cuando R = ∞, la serieconverge para todo x. El radio de convergencia se obtiene mediante el criterio de la raz´n, en o efecto, si l´ ım
n→∞
y como la serie es convergente cuando L < 1, entonces el radio de con1 vergencia es R = L . Si R = 0 o R = ∞, el intervalo de convergencia puede o no incluir los ´ extremos a − R , a + R de dicho intervalo. Una serie de potencias representa una funci´n continua en el interior o desu intervalo de convergencia. Una serie de potencias puede ser derivada t´rmino a t´rmino en el ine e terior de su intervalo de convergencia. Una serie de potencias puede ser integrada t´rmino a t´rmino en el e e interior de su intervalo de convergencia.
´ EXPANSION EN SERIES MACLAURIN DE ALGUNAS SERIES 1. ex = 1 + x +
x2 2!
Un ive
Dos series de potencias pueden ser sumadas t´rmino at´rmino si tienen e e un intervalo com´n de convergencia. u
rsid
ad
de
An
+
x3 3!
+ ... +
xn n!
tioq
+ ... =
convergente para todo x real ( o sea para −∞ < x < ∞) 170
uia
n=0
,D
∞ xn n!
ept
o. d
eM
atem
atic
Cn+1 |x − a| = L Cn
as
5.1. INTRODUCCION 2. sen x = x −
x3 3!
+
x5 5!
−
x7 7!
x + . . . + (−1)n (2n+1)! + . . . =2n+1
∞ n=0
(−1)n
x2n+1 (2n+1)!
convergente para todo x real.
x2 2! x4 4! x6 6!
2n
3. cos x = 1 −
+
−
x + . . . + (−1)n (2n)! + . . . =
∞ n=0
(−1)n
x2n (2n)!
convergente para todo x en los reales.
x3 3! x5 5! x7 7! x2n+1 (2n+1)!
convergente para todo x real.
x2 2! x4 4! x6 6! x2n (2n)! ∞
n=0
convergente para todo x en los reales.
1 1−x ∞
n=06.
tioq
convergente para x en el intervalo −1 < x < 1
uia
= 1 + x + x 2 + x3 + . . . + x n + · · · =
n=0
,D
xn
∞ n=1
ad
de
convergente para x en el intervalo −1 < x ≤ 1
An
7. ln(1 + x) = x −
x2 2
+
x3 3
−
x4 4
ept
o. d
5. cosh x = 1 +
+
+
+ ... +
+ ... =
eM
x2n (2n)!
atem
4. senh x = x +
+
+
+ ... +
+... =
∞
x2n+1 (2n+1)!
atic
(−1)n+1
xn n x2n+1 2n+1
+ . . . + (−1)n+1 x + . . . = n
n
rsid
8. tan−1 x = x −
x3 3
+
x5 5
− . . . + (−1)n
x2n+1 2n+1
+ ... =
∞ n=0
(−1)n
Un ive
convergente para x en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1 9. sen −1 x = x +
1 x3 2 3
+
1·3 x5 2·4 5
+
1·3·5 x7 2·4·6 7
+ ... =
∞ n=0
1·3·5...(2n−1) x2n+1 2·4·6...2n2n+1
convergente para todo x en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1 10. Serie binomial: 2 3 (1 + x)r = 1 + rx + r(r−1)x + r(r−1)(r−2)x + . . . 2! 3! convergente para x en el intervalo −1 < x < 1 171
as
CAP´ ITULO 5. SOLUCIONES POR SERIES
5.2.
SOLUCION EN PUNTOS ORDINARIOS
a2 (x)y + a1 (x)y + a0 (x)y = 0
Supongamos que la ecuaci´n o
se puede escribir as´ ı:
Nota: si un punto no esordinario se dice que es singular.
luego, toda funci´n que tenga un desarrollo en serie Maclaurin es anal´ o ıtica en x = 0. Ejemplo 1. Hallar los puntos ordinarios y singulares de y + sen xy + ex y = 0
172
Un ive
∞
n=0
rsid
En particular cuando x = 0 a la serie Taylor se le llama serie Maclaurin de y(x) y la serie tiene la forma: y n (0) (x)n , n!
ad
de
luego, toda...
es convergente .
Todo intervalo de convergencia tiene un radio de convergencia R.
Un ive
Una serie de potencias converge absolutamente en un n´mero x si, u
∞
n=0
rsid
|Cn | |x − a|n
169
ad
Toda serie de potencias tiene un intervalo de convergencia que consiste de todos los puntos para los cuales la serie es convergente.
de
An
tioq
∞
Cn (x − a)n .uia
Una serie de potencias en (x − a), es una expresi´n de la forma o
,D
ept
5.1.
INTRODUCCION
o. d
eM
atem
SOLUCIONES POR SERIES
atic
CAP´ ITULO 5
as
CAP´ ITULO 5. SOLUCIONES POR SERIES Una serie de potencias converge absolutamente para |x − a| < R y diverge para |x − a| > R. Cuando R = 0, la serie s´lo converge en x = a. o Cuando R = ∞, la serieconverge para todo x. El radio de convergencia se obtiene mediante el criterio de la raz´n, en o efecto, si l´ ım
n→∞
y como la serie es convergente cuando L < 1, entonces el radio de con1 vergencia es R = L . Si R = 0 o R = ∞, el intervalo de convergencia puede o no incluir los ´ extremos a − R , a + R de dicho intervalo. Una serie de potencias representa una funci´n continua en el interior o desu intervalo de convergencia. Una serie de potencias puede ser derivada t´rmino a t´rmino en el ine e terior de su intervalo de convergencia. Una serie de potencias puede ser integrada t´rmino a t´rmino en el e e interior de su intervalo de convergencia.
´ EXPANSION EN SERIES MACLAURIN DE ALGUNAS SERIES 1. ex = 1 + x +
x2 2!
Un ive
Dos series de potencias pueden ser sumadas t´rmino at´rmino si tienen e e un intervalo com´n de convergencia. u
rsid
ad
de
An
+
x3 3!
+ ... +
xn n!
tioq
+ ... =
convergente para todo x real ( o sea para −∞ < x < ∞) 170
uia
n=0
,D
∞ xn n!
ept
o. d
eM
atem
atic
Cn+1 |x − a| = L Cn
as
5.1. INTRODUCCION 2. sen x = x −
x3 3!
+
x5 5!
−
x7 7!
x + . . . + (−1)n (2n+1)! + . . . =2n+1
∞ n=0
(−1)n
x2n+1 (2n+1)!
convergente para todo x real.
x2 2! x4 4! x6 6!
2n
3. cos x = 1 −
+
−
x + . . . + (−1)n (2n)! + . . . =
∞ n=0
(−1)n
x2n (2n)!
convergente para todo x en los reales.
x3 3! x5 5! x7 7! x2n+1 (2n+1)!
convergente para todo x real.
x2 2! x4 4! x6 6! x2n (2n)! ∞
n=0
convergente para todo x en los reales.
1 1−x ∞
n=06.
tioq
convergente para x en el intervalo −1 < x < 1
uia
= 1 + x + x 2 + x3 + . . . + x n + · · · =
n=0
,D
xn
∞ n=1
ad
de
convergente para x en el intervalo −1 < x ≤ 1
An
7. ln(1 + x) = x −
x2 2
+
x3 3
−
x4 4
ept
o. d
5. cosh x = 1 +
+
+
+ ... +
+ ... =
eM
x2n (2n)!
atem
4. senh x = x +
+
+
+ ... +
+... =
∞
x2n+1 (2n+1)!
atic
(−1)n+1
xn n x2n+1 2n+1
+ . . . + (−1)n+1 x + . . . = n
n
rsid
8. tan−1 x = x −
x3 3
+
x5 5
− . . . + (−1)n
x2n+1 2n+1
+ ... =
∞ n=0
(−1)n
Un ive
convergente para x en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1 9. sen −1 x = x +
1 x3 2 3
+
1·3 x5 2·4 5
+
1·3·5 x7 2·4·6 7
+ ... =
∞ n=0
1·3·5...(2n−1) x2n+1 2·4·6...2n2n+1
convergente para todo x en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1 10. Serie binomial: 2 3 (1 + x)r = 1 + rx + r(r−1)x + r(r−1)(r−2)x + . . . 2! 3! convergente para x en el intervalo −1 < x < 1 171
as
CAP´ ITULO 5. SOLUCIONES POR SERIES
5.2.
SOLUCION EN PUNTOS ORDINARIOS
a2 (x)y + a1 (x)y + a0 (x)y = 0
Supongamos que la ecuaci´n o
se puede escribir as´ ı:
Nota: si un punto no esordinario se dice que es singular.
luego, toda funci´n que tenga un desarrollo en serie Maclaurin es anal´ o ıtica en x = 0. Ejemplo 1. Hallar los puntos ordinarios y singulares de y + sen xy + ex y = 0
172
Un ive
∞
n=0
rsid
En particular cuando x = 0 a la serie Taylor se le llama serie Maclaurin de y(x) y la serie tiene la forma: y n (0) (x)n , n!
ad
de
luego, toda...
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