Ecuaciones diferenciales

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
DE LA FUERZA ARMADA
NÚCLEO GUATIRE
Cálculo Numérico
Profesor Giomar Rojas

Guía de Estudio y Ejercicios

Contenidos: Ecuaciones Diferenciales

Introducción: Es muycomún la palabra ecuación, la hemos venido utilizando en muy variadas ocasiones; tal es el caso de las ecuaciones algebraicas, las cuales se obtienen igualando a cero un polinomio y tienen tantas soluciones como sea el grado de éste; otras son la no algebraicas o ecuaciones trascendentes, definidas mediante expresiones trigonométricas (admiten infinitas soluciones), logarítmicas o exponenciales.Adicional a lo anterior, se presentan otros problemas en la Matemática, la Física, la Ingeniería, la Biología, etc., que conducen al planteamiento de otras ecuaciones donde las incógnitas pueden ser: matrices, funciones, aplicaciones lineales, subespacios de [pic] u otros objetos matemáticos; entre estas figuran las ecuaciones diferenciales.

Ecuaciones Diferenciales (ED): Son aquellas en lascuales las incógnitas que se presentan son funciones e intervienen derivadas de una o más funciones, es decir, son ecuaciones que contienen las derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.

Clasificación de las ED: Las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar según tres características: tipo, orden y linealidad (grado).Según el tipo una ED puede ser ordinaria (EDO) o parcial (EDP). Una EDO es aquella que sólo contiene derivadas ordinarias (derivadas de una o varias funciones de una sola variable independiente). Una EDP, en cambio, contiene derivadas parciales (derivadas de una o varias funciones de dos o más variables independientes). El orden de una ecuación diferencial lo determina el orden de la más alta derivadapresente en ella. Respecto al grado se tiene que si la ecuación diferencial tiene la forma de una ecuación algebraica (un polinomio) de grado h en la derivada de mayor grado, entonces es una (ED) de grado h o no lineal y si h = 1 es lineal y presenta la siguiente forma:
[pic]

[pic]

Observe que en las ED lineales la variable dependiente y todas sus derivadas sólo pueden tener exponente iguala 1 y los coeficientes sólo involucran la variable independiente x.
Ejemplos:
1) [pic], es una ecuación diferencial ordinaria (EDO), donde [pic] es la variable dependiente, x la variable independiente e [pic] es la derivada de y con respecto a x. Además, es de orden y grado uno.
2) La expresión [pic], es una ecuación en derivadas parciales de orden y grado uno.
3) La ecuación: [pic]es una EDO de orden dos y grado uno.
4) [pic], es una EDO de orden tres y grado dos.

Solución de una ED: La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función (integrar) que cumpla una determinada ecuación diferencial. Una función  f, definida en algún intervalo I, es solución de una ecuación diferencial en dicho intervalo, si alsustituirla en la ED la reduce a una identidad. Las soluciones de las ecuaciones diferenciales pueden ser explícitas o implícitas. Una ED tiene, generalmente, un número infinito de soluciones o más bien una familia n-paramétrica de soluciones. El número de parámetros, n, depende del orden de la ED. Hay tres tipos de soluciones:
Solución general: Una solución de tipo genérico, expresada con una o másconstantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la...