ecuaciones diferenciales

Ecuaciones Diferenciales de 2° orden coeficiente Constante de Raíces Diferentes
Hallar la solución general a la ecuación diferencial homogénea de segundo orden con coeficientes constantes y lasolución al problema de valor inicial para:y(0)=1;y’(0)=2
Y”+ y’- 2y = 0esta es una ecuación de la forma ay”+by’+cy =0 homogéneas con coeficientes constantes con a=1 , b= 1 , C=-2.
Suponemospara este caso una solución de la forma:
y= erx.Dondeyes una función exponencial yr es una constante que multiplica a x en el exponente.
Ahora la primera derivada para y es:

Y’= erx.r
La segundaderivada para y es :

Y” = erx.0 + r.erx.r Y” = r2.erx

Sustituimos
r2. erx+ r. erx- 2.erx =0Factorizamoserx(r2 + r - 2)=0 r2+r-2="0" /"erx"
r2+r-2 = 0 Ecuacióncaracterística para hallar las raíces por factorización directa se tiene (r1+2)(r2-1) =0

r1 + 2 =0 r1= -2
r2 - 1 =0 r2= 1se cumple la desigualdad

Reemplazamos r1 yr2 en la sgte Ecuación y= c1 .er1x+ c2.er2x Aplicamos esta fórmula general cuando r1≠r2.

y= c1.e-2x + c2.exEsta es la solución general de la ecuación.
Posteriormente para hallar unasolución al problema del valor inicial tenemos que

y(0)= 1
y’(0)= 2
Reemplazamos los valores de x en la solución general de la ecuación,teniendo que para y=1 , el valor de x =0 quedaría:

y=c1.e-2x + c2.ex1= c1.e-2(0) + c2.e01=c1+c2

Derivamos la ecuación general

y’= c1.e-2x(-2) + c2.e x(1) y’= -2.c1.e-2x + c2.e xsustituimos y’(0) =2 para x= 0
y’=2 nos queda la sgteecuación2= -2.c1.e-2(0) + c2.e 02=-2.c1. + c2.

Tomamos ambas respuestas y realizamos el sistema de ecuaciones.

1= c1+ c2 Multiplicamos x2
2=-2.c1. + c2.Multiplicamos x1


2c1+ 2c2= 2
-2c1+ c2 = 2
3 c2 =4 c2=4/3reemplazamos c1+ 4/3=1 c1= 1- 4/3c1 =(-1)/3

Entonces tenemos que la solución particular es:y =(-1)/3e-2x + 4/3 e x...