Ecuaciones Diferenciales

´ ´ BENEMERITA UNIVERSIDAD AUTONOMA DE PUEBLA ´ FACULTAD DE CIENCIAS DE LA ELECTRONICA

Jos´ Eligio Mois´s Guti´rrez Arias e e e
Facultad de Ciencias de la Electr´nica, A.A.E. de Matem´ticas o a

Nykolay Mak´rov a
Instituto de Ciencias, Laboratorio de F´sico-Qu´ ı ımica de Materiales

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Primavera, 2005

Pr´logo o
Agradecimientos Jos´ Eligio Mois´sGuti´rrez Arias e e e Nykolay Makarov

i

´ INDICE
1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden 1.1 Conceptos y Definiciones Fundamentales . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Definici´n de la Ecuaci´n Diferencial . . . . . . . . . . . . o o 1.1.2 Clasificaci´n de las Ecuaciones Diferenciales o seg´n el Tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 1.1.3 Clasificaci´n de las EcuacionesDiferenciales o seg´n el Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 1.1.4 Clasificaci´n de las Ecuaciones Diferenciales o seg´n el Grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 1.1.5 Clasificaci´n de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias o seg´n la Linealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 1.1.6 Soluci´n de la Ecuaci´n Diferencial . . . . . . . . . . . . . o o1.1.7 Problemas con Valores Iniciales y con Valores de Frontera 1.1.8 Teorema de Existencia–Unicidad . . . . . . . . . . . . . . 1.1.9 Familia de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Ecuaciones de Variables Separables . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Definici´n y M´todo de Soluci´n . . . . . . . . . . . . . . . o e o 1.2.2 Ecuaciones Reducibles a Separables . . . . . . . .. . . . . 1.3 Ecuaciones Homog´neas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.3.1 Definici´n y M´todo de Soluci´n . . . . . . . . . . . . . . . o e o 1.3.2 Ecuaciones Reducibles a Homog´neas . . . . . . . . . . . . e 1.4 Ecuaciones Exactas. Factor Integrante . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 M´todo de Soluci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e o 1.4.2 Factor Integrante . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Ecuaciones Lineales de Primer Orden . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 M´todo de Soluci´n por Factor Integrante . . . . . . . . . e o 1.5.2 M´todo de Soluci´n por Variaci´n de Parametros . . . . . e o o 1.5.3 Observaci´n Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.6 Ecuaciones No-Lineales Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1Ecuaci´n de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.6.2 Ecuaci´n de Ricatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.6.3 Ecuaci´n de Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.7 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Problema sobre el Aumento de la Poblaci´n . . . . . . . . o 1.7.2 Problema sobre Aprendizaje de Palabras . .. . . . . . . . 1.7.3 Semivida y Antig¨edad de un F´sil . . . . . . . . . . . . . u o 1.7.4 Efusi´n del Agua de un Tanque . . . . . . . . . . . . . . . o ii 1 1 1 2 3 4 4 6 9 11 12 13 14 19 21 21 25 28 28 33 38 38 43 45 46 46 48 54 56 56 57 58 60

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1.7.5

Circuito El´ctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 e 63 . . . . . . 63 . . . . . . 63 . . . . . . 66 . . . . . . 68 . . . . . . 69 . . . . . . 71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 73 74 78 83 87 90 93 93 94 101 109 109 111 113 114 118 120 126 131 137 141 146

2 Ecuaciones Diferenciales Lineales de En´simo Orden e 2.1 Teor´ General . . . ....