Ecuaciones Diferenciales

El verdadero poder de la transformada de Laplace se logra apreciar en las aplicaciones que ésta tiene para la solución de Ecuaciones Diferenciales y el análisis de sistémas.

0.1.

Problemas deValor Inicial

Una de las principales aplicaciones de la Transformada de Laplace es la solución de problemas de valor inicial (PIV) que involucran ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientesconstantes. Algunas de las ventajas de el uso de la TL en la solución de problemas de valor inicial son los siguientes: No es necesario encontrar previamente la solución general de la ecuación. Estatécnica permite manejar fácilmente PIV’s que contienen funciones continuas a trozos. Permite manejar también ecuaciones integro-diferenciales. Para resolver un PIV utilizando TL: PASO 1 Calcule la TL deambos miembros de la ED. PASO 2 Despejar de la expresión obtenida en el paso 1, la TL de la variable que se busca. PASO 3 Encuentre la TL-Inversa de la expresión encontrada en el paso 2.

0.2.Ejemplos

Encuentre la solución del los siguientes PIV’s Ejemplo 1 y 00 − 2y 0 + 5y = −8e−t Solución 2 Siguiendo los pasos sugeridos: 1. Solución 3 Paso 1 ª © L {y 00 − 2y 0 + 5y} = L −8e−t © ª L{y00 } − 2L {y 0 } + 5L {y} = −8L e−t L {y00 } = = 0 L {y } = = L {y} = © −t ª = L e y (0) = 2 y 0 (0) = 12

de donde

s2 Y (s) − sy (0) − y 0 (0) s2 Y (s) − 2s − 12 sY (s) − y (0) sY (s) − 2 Y (s) 1s+1 Sustituyendo tendremos que la TL de la ED original es s2 Y (s) − 2s − 12 − 2 (sY (s) − 2) + 5Y (s) = s2 Y − 2s − 12 − 2 (sY − 2) + 5Y s2 Y − 2s − 8 − 2sY + 5Y = = −8 s+1 −8 s+1 −8 s+1 −8 s+1 −8s+1

s2 Y − 2sY + 5Y − 2s − 8 =

por comodidad usaremos Y en lugar de Y (s)

¡ ¢ Y s2 − 2s + 5 − 2s − 8 = 1

Paso 2 Como queremos saber el valor de Y la despejamos de la última expresiónobtenida ¢ ¡ Y s2 − 2s + 5 − 2s − 8 = Y = −8 s+1 2s (s + 5) (s + 1) (s2 − 2s + 5)

Paso 3 Aplicamos TL-Inversa sobre ésta última ecuación para encontrar la solución al PIV ½ ¾ 2s (s + 5) L−1 {Y } =...