Ecuaciones Diferenciales

Introduccion a Las Ecuaciones Diferenciales Parciales
6.1 Definiciones (ecuación diferencial parcial, orden y linealidad)Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene una función desconocida de una o más variables y sus derivadas parciales respecto a estas variables. El orden de una ecuación diferencial parcial es el de la derivada de mayor orden que aparezca en dicha ecuación. Ejemplo:Es una ecuación diferencial parcial de orden 2, o una ecuación diferencial de segundo orden.
Una solución de una ecuación diferencial parcial es cualquier función que verifica idénticamente la ecuación. La solución general particular es una solución que se puede obtener de la solución general cuando se hace una selección particular de las funciones arbitrarías. La siguiente ecuación es unasolución de la ecuación diferencial parcial de l ejemplo anterior. Puesto que contiene dos funciones independientes arbitrarias y, es la solución general. Solución particular: Si:
;
Obtenemos la solución particular: Una solución singular es una solución que no se puede obtener de la solución general mediante alguna selección de las funciones arbitrarias. Un problema de valor de contorno quecontiene una ecuación diferencial parcial busca todas las soluciones de una ecuación diferencial parcial que verifican las condiciones llamadas condiciones de entorno. Los teoremas que se refieren a la existencia y unicidad de tales soluciones se llaman teoremas de existencia y unicidad.
6.2 Forma general de una ecuación diferencial parcial de segundo orden.
La ecuación diferencial parcial linealgeneral de orden dos en dos variables independientes toma la forma:
(1)
Donde A,B…,G pueden depender de x y y pero no de u. Una ecuación de segundo orden con dos variables independientes x y y que no tiene la forma anterior se llaman no lineal. Si , la ecuación es homogénea, mientras que si , entonces es no homogénea. Fácilmente se puede hacer las generalizaciones a ecuaciones de ordensuperior. Por razón de la naturaleza de las soluciones de(1), la ecuación se clasifica frecuentemente como elíptica, hiperbólica o parabólica según que sea menor, mayor o igual que cero respectivamente.
6.3 Clasificación de ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden (elípticas, parabólicas e hiperbólicas). Es hiperbólica, parabólica o elíptica si el término:
Es positivo, cero o negativo,respectivamente. Sin embargo, esta definición puede ser confusa en algunas ocasiones. Otra forma de identificar las ecuaciones diferenciales, aunque no es formal pero si práctica, es observando el orden de las derivadas con respecto al tiempo. Cuando no se tienen derivadas cruzadas, las ecuaciones con segunda derivada con respecto al tiempo son usualmente hiperbólicas, las que tiene primeraderivada con respecto al tiempo son parabólicas y las que no tienen derivada con respecto al tiempo son elípticas.
Cada una de las categorías de ecuaciones diferenciales parciales gobierna una clase específica de problemas en ingeniería. Comúnmente las ecuaciones elípticas se usan para caracterizar sistemas en estado estable, tal como en la ecuación (6.15). Por lo general este tipo de ecuaciones seemplean para determinar la distribución en estado estable de una incógnita en dos dimensiones.
En contraste con las ecuaciones elípticas, las ecuaciones parabólicas determinan como una incógnita varía tanto en espacio como en tiempo. Esto se manifiesta por la presencia de la derivada espacial y temporal como en las ecuaciones (6.13) y (6.14). Tales casos se conocen como problemas de propagación,ya que la solución se propaga con el tiempo. Un ejemplo de esto es el problema de transferencia de calor en estado transitorio de una barra delgada, en la cual la solución consiste en una serie de distribuciones espaciales que corresponden al estado de la barra en diferentes momentos.
Las ecuaciones hiperbólicas, también tratan con problemas de propagación. Sin embargo, una importante...