ecuaciones diferenciales

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA
Código del Curso- Ecuaciones Diferenciales
Act 1: Revisión de Presaberes

ECUACIONES DIFERENCIALES1
REPASO DE ALGUNOS CONCEPTOS PREVIOS AL ESTUDIO DE LAS
ECUACIONES DIFERENCIALES
1. Cuando hablamos de una función en una variable escribíamos esta relación
como y = f(x), esta expresión nos indicaba que la variable dependiente (en
estecaso y) dependía solamente de la variable independiente x. También
podíamos escribirla como F(x, y) = 0, indicando que en esta relación de
igualdad aparecerían en el primer miembro a lo más las variables x e y.
Por ejemplo si tenemos la función y = x2, también podríamos escribirla
como
y – x2 = 0 en su segunda estructura.
2. Algunas propiedades que vale la pena recordar son:


e n * e m  en m



 x Definición de la exponencial como función inversa del
logaritmo natural.



Ln e x  x

e

Propiedades de la potenciación.

Ln x

Definición de la exponencial como función inversa del

logaritmo natural.
3. Entre las interpretaciones para la derivada vale la pena tener en cuenta
que:
 Geométricamente la derivada es la pendiente de la recta que es tangente ala curva (gráfica) en cualquier punto.
 La derivada es una razón de cambio entre la variable dependiente y la
variable independiente. Es decir, es una medida de cómo cambia la variable
dependiente a medida que hacemos pequeños incrementos en la variable
independiente.
 En física la derivada de la función posición con respecto al tiempo es la
velocidad, así como la derivada de la velocidadcon respecto al tiempo es la
aceleración, esto se escribe,

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Este escrito fue aportado por el Docente Pablo Pinto.

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Act 1: Revisión de Presaberes

ds
 vt 
dt

Donde s es la variable dependiente posición, t es la variable

independiente tiempo y v es la variable velocidad (queobviamente depende del
tiempo).
dv
 a t  donde v es la variable dependiente velocidad, t es la variable
dt

independiente tiempo y a es la variable aceleración (que obviamente depende del
tiempo).
Es decir que la derivada es una velocidad instantánea.
4. Derivadas de orden superior (diferentes notaciones o formas de escribir las
derivadas):
 Primera derivada ó derivada de primerorden

y 

dy

 f x   y 1  y x  Dx  x
dx

La segunda, tercera, quinta y sexta notación nos dicen explícitamente que la
variable independiente es x (más adelante veremos la importancia que esto tiene).
La última notación es utilizada generalmente en física, donde x es el espacio o
posición y la variable independiente es obviamente el tiempo.
 Segunda derivada ó derivada desegundo orden para cada una de las
anteriores notaciones son:

d2y
 f x   y 2   y xx  Dxx  
x
2
dx
d2y
dy
2 NO es el cuadrado de
dx
dx

y 
OBSEVACIÓN:

d2y
ES la segunda derivada de y; el cuadrado de la primera derivada lo
dx 2
2

dy 2
 dy 
escribimos así: 
 y este último NO es
dx 2
 dx 
 Tercera derivada ó derivada de tercer orden:
y 

d3y f  x   y 3   y xxx  Dxxx
dx 3

2

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Según lo dicho la última notación no tiene sentido para la tercera derivada.
 Cuarta derivada ó derivada de cuarto orden

d4y
y 
 f iv x   y 4   y xxxx  Dxxxx
4
dx
iv

 n-ésima derivada ó derivada deorden n para la segunda y cuarta notación
serían

y

n 

dny

dx n

Función Exponencial y Logarítmica
Para el curso de ecuaciones diferenciales es esencial tener en cuenta
conocimientos básicos del algebra, por tanto se hace necesario que los
repasemos. Uno de aquellos conocimientos básicos tiene que ver con es de las
funciones exponenciales y logarítmicas.
Se llama función...