ecuaciones diferenciales

Lecci´n 8
o

Sistemas de ecuaciones
diferenciales lineales

8.1.

Introducci´n: Sistemas de ecuaciones diferenciales
o

Un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de una o m´s ecuaciones en las que
a
aparecen una o m´s funciones inc´gnita, pero todas ellas dependiendo de una sola variable
a
o
independiente. Para ilustrar este concepto vamos a retomar un ejemplo decin´tica qu´
e
ımica
que estudiamos en la lecci´n anterior, pero pregunt´ndonos ahora una cuesti´n diferente y,
o
a
o
como veremos, m´s complicada.
a
Ejemplo 8.1 .- Consideremos las siguientes reacciones irreversibles de segundo orden que
se producen consecutivamente en un reactor:
k

1
A + S −→ X

k

2
X + S −→ Y

Si inicialmente se a˜aden 2 moles de S y 1 mol de A. ¿Cu´l es lacantidad de sustancia en
n
a
el reactor en cada instante de tiempo?.
115

116

Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

Si, como viene siendo habitual, [A], [S], [X] y [Y ] representan las concetraciones molares
de las sustancias presentes en las reacciones, las ecuaciones diferenciales que modelan la
evoluci´n en el tiempo de las concentraciones son:
o
d[A]
dt

= −k1 [A][S]d[Y ]
dt

= k2 [X][S]

d[X]
dt

= k1 [A][S] − k2 [X][S]

d[S]
dt

= −k1 [A][S] − k2 [X][S]

(8.1)

Esto es un sistema de 4 ecuaciones diferenciales de primer orden con cuatro funciones
inc´gnitas: [A], [S], [X] y [Y ]. As´ pues, resolver el sistema ser´ encontrar expresiones para
o
ı
ıa
las cuatro funciones (como funciones del tiempo t, que es la variable independiente).Como
adem´s se dan unas condiciones iniciales: [A]0 = 1 mol, [S]0 = 2 moles [X]0 = [Y ]0 = 0
a
moles, estamos en presencia de un problema de condiciones iniciales.
Se trata de un sistema que no es lineal porque las ecuaciones que los componen no lo
son. Salvo para sistemas muy concretos s´lo disponemos de m´todos anal´
o
e
ıticos generales
para resolver sistemas lineales especiales. Porello no es esperable que podamos obtener, tal
y como se nos pide, expresiones anal´
ıticas para la evoluci´n de las concentraciones de las
o
sustancias presentes en el reactor a lo largo del tiempo. Esto no significa que no podamos
decir nada a este respecto: disponemos de buenos m´todos cualitativos y num´ricos que nos
e
e
permiten conseguir mucha informaci´n acerca de las soluciones de grancantidad de sistemas
o
no lineales. En ´sta y las dos pr´ximas lecciones estudiaremos m´todos anal´
e
o
e
ıticos para expresar las soluciones de los sistemas lineales y en particular de los de coeficientes constantes.
Posteriormente estudiaremos t´cnicas cualitativas para obtener informaci´n de las soluciones
e
o
de los sistemas no lineales. Los m´todos num´ricos se estudiar´n en laasignatura de An´lisis
e
e
a
a
Num´rico.
e

8.2.

Sistemas de primer orden

En el sistema (8.1) aparecen s´lo derivadas de primer orden en las funciones inc´gnita
o
o
[A], [S], etc. Por eso se llama un sistema de primer orden. El orden de un sistema de
ecuaciones diferenciales es el orden de la derivada de mayor orden que aparece en el sistema.
La forma general de un sistema de dosecuaciones y de primer orden es:
x = f (t, x, y)
y = g(t, x, y)

8.2 Sistemas de primer orden

117

donde f y g son funciones de las tres variables x, y y t (variable independiente del sistema).
Una soluci´n del sistema en el intervalo (a, b) es un par de funciones x(t), y(t) que satisfacen
o
x (t) = f (t, x(t), y(t))
y (t) = g(t, x(t), y(t))
id´nticamente para todo t ∈ (a, b).
eEjemplo 8.2 .- Probar que las funciones x(t) = et , y(t) = e−t son soluciones del sistema
x = x2 y
y = −xy 2 .
en toda la recta real.
En efecto, por una parte x (t) = et y x(t)2 y(t) = e2t e−t = et . As´ pues x (t) = x(t)2 y(t)
ı
y se satisface la primera ecuaci´n id´nticamente. Adem´s y (t) = −e−t y −x(t)y(t)2 =
o
e
a
t −2t
−t
2
−e e = −e . Entonces y (t) = −x(t)y(t) con lo que se...