ecuaciones diferenciales

 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL


ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

INGENIERÍA EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE ECUACIONES DIFERENCIALES

P R E S E N T A :

M. en C. MÓNICA SEDEÑO JUÁREZ



MÉXICO D.F. JUNIO DEL 2009






UNIDAD IINTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES
Definición de una Ecuación Diferencial
Una ecuación diferencial es una expresión matemática que contiene al menos una derivada de una o más variables dependientes con respecto a una variable independiente.
El propósito de resolver las ecuaciones diferenciales, es encontrar la(s) función(es) desconocida(s) queaparezca(n).

1.1 DEFINICIÓN Y TIPOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Y PARCIALES
Clasificación según el tipo
a) Ecuación Diferencial Ordinaria
Si la función desconocida depende de una variable independiente. Es decir, si sólo aparecen derivadas ordinarias en la ecuación diferencial, se dice que es una ecuación diferencial ordinaria.
b) Ecuación Diferencial Parcial
Si la función desconocidadepende de varias variables independientes. Es decir, si sólo aparecen derivadas parciales, entonces la ecuación se llama ecuación diferencial parcial.
Nota: Cuando una ecuación contiene una o más derivadas con respecto a una variable partículas, a esa variable se le llama variable independiente.
Una variable es llamada dependiente si una derivada de esa variable aparece en la ecuacióndiferencial.




1.1.2 ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o parcial) representa el orden de la derivada más alta presente en la ecuación.
Ejemplo:
(1.1)
Ecuación Diferencial de Segundo Orden
El grado de una Ecuación Diferencial Ordinaria es el grado algebraico de la derivada de más alto orden en laecuación.
Ejemplo:
(1.2)
Ecuación Diferencial de 2° Orden, de 3° Grado
1.2 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
1.2.1 ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES
Una ecuación diferencial lineal ordinaria de n-ésimo orden en la variable dependiente y y la variable independiente x, es una ecuación que se puede expresar en la forma:
(1.3)
Las dospropiedades características de las ecuaciones diferenciales lineales son:
1) La variable dependiente y y todas sus derivadas son de 1° grado, esto es, el exponente de todo término donde aparece y es 1.
2) Cada coeficiente sólo depende de x, que es la variable independiente.



Ejemplos de Ecuaciones Diferenciales Lineales:
(1.4)
Una ecuacióndiferencial ordinaria no lineal es una ecuación diferencial ordinaria que no es lineal. Las funciones no lineales de la variable dependiente o de sus derivadas como por ejemplo sen y o ey no pueden aparecer en una ecuación lineal.
Ejemplos:
(1.5)

1.2.2 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
Una relación que define una función explicita se llama solución de unaecuación diferencial si satisface la ecuación para toda x en el intervalo I, en el sentido ordinario de comprobación por sustitución directa.
Ejemplo: Verificar que:
(1.6)
es una solución de la ecuación diferencial:
(1.7)
Solución: Derivamos y
y’= 4e4x , y’’=16 e4x(1.8)
Sustituimos las derivadas en la ecuación (1.7), lo cual nos da:

Obtenemos la verificación deseada.

1.2.3 ELIMINACIÓN DE CONSTANTES ARBITRARIAS
Este método puede variar, y puede ser eficiente para algunos casos y para otros no. Lo que persiste en todos los casos, es que el número de derivadas que necesita usarse es el mismo...