Ecuaciones Diferenciales

SEMANA 1. CONCEPTOS GENERALES

Introducción.
En algebra nos fue suficiente para resolver muchos problemas estáticos, pero existen otros muy importantes donde hay cambios que se describen solo por medio de ecuaciones que relacionan las cantidades que cambian.
Dichos cambios están representados por derivadas o diferenciales, originando así las ecuaciones diferenciales.
Es por elloque las ecuaciones diferenciales tienen mucha relación con los fenómenos que a diario ocurren en la vida cotidiana.
Las ecuaciones diferenciales se encuentran aplicadas en muchas de las áreas del conocimiento: matemáticas, ciencias e ingeniería.
Es de nuestro conocimiento que al resolver una ecuación como: [pic] estamos hallando el valor de la incógnita [pic].
En el curso deecuaciones diferenciales la principal tarea es hallar una función que convierta una ecuación con derivadas o diferenciales en una identidad.
Por ejemplo, [pic] es una ecuación con derivadas, su solución será una función [pic]
Para entender, leer, estudiar y tener fluidez en un tema especializado como este, será de mucha importancia conocer la terminología, es decir, el lenguaje de estadisciplina.

Definición: Una ECUACION DIFERENCIAL es una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.

En los cursos de Cálculo se aprendió que, dada una función
[pic] la derivada [pic] es también una función de [pic] y se encuentra mediante alguna regla apropiada.
Por ejemplo, si [pic]entonces[pic] ó [pic] (1)
El problema que enfrentamos en este curso no es: dada una función: y = f (x), encontrar su derivada; mas bien, el problema es: si se da una ecuación tal como [pic], encontrar de alguna manera una función y = f (x) que satisfaga la ecuación. En una palabra, se desea resolver ecuaciones diferenciales.
Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo conlas tres propiedades siguientes:

CLASIFICACIÓN SEGÚN EL TIPO

Si una ecuación contiene sólo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria.
Por ejemplo,
[pic]Son ecuaciones diferenciales ordinarias.
Una ecuación que contiene las derivadas parciales de una o más variablesdependientes de dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial.
Por ejemplo,
[pic]
Son ecuaciones con derivadas parciales
CLASIFICACIÓN SEGÚN EL ORDEN
El orden de la más alta derivada en una ecuación diferencial se llama orden de la ecuación.
Por ejemplo,
[pic]
Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.
Puesto que la ecuación diferencial [pic] puedellevarse a la forma
[pic]
Dividiendo entre dx, es un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria de primer orden.
La ecuación:
[pic]
[pic]Es una ecuación diferencial parcial de cuarto orden.
Aunque las ecuaciones diferenciales parciales son muy importantes, su estudio exige una buena base en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. En consecuencia, en la discusión que sigue, limitaremosnuestra atención a ecuaciones diferenciales ordinarias.
Una ecuación diferencial ordinaria general de orden n se representa a menudo mediante el símbolo
[pic][pic][pic][pic] (a)

CLASIFICACIÓN SEGÚN LA LINEALIDAD O NO LINEALIDAD

Se dice que una ecuación diferencial es lineal si tiene la forma
[pic]
Debe hacerse notar que las ecuaciones diferenciales lineales se caracterizanpor dos propiedades:
(a) la variable dependiente y junto con todas sus derivadas son de primer grado, esto es, la potencia de cada término en y es 1; y
(b) cada coeficiente depende sólo de la variable independiente x. lo mismo que el segundo miembro: [pic]
Una ecuación que no es lineal se dice no lineal.
Las ecuaciones
[pic]
Son ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primero,...