Ecuaciones Diferenciales

Ejercicio 5 Sección 3.2

a) Si se pesca un numero constante h de peces de pesquería por unidad de tiempo, entonces un modelo parala población P(t) de la pesquería al tiempo t esta dado por:
dpdt=Pa-bp-h P (0)=Po
Donde a, b, h y Po son constantespositivas. Suponga que a=5, b=1 y h=4, puesto que la ecuación diferencial es autónoma, utilice el concepto del esquema de fase de la sección 2.1,para dibujar curvas solución representativas que corresponden a los casos Po> 4, 1 < Po < 4 y 0 < Po < 1. Determine elcomportamiento de la población a largo plazo en cada caso.
dpdt=Pa-bp-h P(0)=Po
dpdt= 5P-P2-4
P2-5P+4=0
(p-4)(P-1)=0

P1=4 p2=1* En R1 a largo plazo la población va a ser 0 en el intervalo Creciente 0< Po < 1
* En R2 a largo plazo la población tiende a 4.* En R3 a largo plazo la población tiende a 4.

b) Resuelva el problema de valor inicial del inciso a). Compruebe losresultados de su esquema de fase del inciso a) utilizando un programa de graficacion para traer la grafica de P(t) con condición inicial tomadade cada uno de los tres intervalos dados.

dPdt=5P-P2-4

-dPP2-5P+4=dt

-dPP-4(P-1)=dt
-(-13Ln(P-1P-4))= t+c
Ln (P-1P-4)=3(t+c)(P-1P-4=ce3t
P-1= ce3t P-4
4ce3t-1ce3t-1=Pt
P(0)=Po
4c-1c-1=Po
Po-1=PoC-4C
Po-1Po-4=C
P(t)=4Po-1Po-4e3t-1Po-1Po-4e3t-1
4