ecuaciones diferenciales

3 Sistemas Dinámicos
Los sistemas dinámicos son sistemas cuyos parámetros internos (variables de estado)
siguen una serie de reglas temporales. Se llaman sistemas porque están descritos por un
conjunto de ecuaciones (sistema) y dinámicos porque sus parámetros varían con respecto a
alguna variable que generalmente es el tiempo. El estudio de los sistemas dinámicos puede
dividirse en 3subdisciplinas [10]:
• Dinámica aplicada: Modelado de procesos por medio de ecuaciones de estado que
relacionan estados pasados con estados futuros.
• Matemáticas de la dinámica: Se enfoca en el análisis cualitativo del modelo
dinámico.
• Dinámica experimental: Experimentos en laboratorio, simulaciones en computadora
de modelos dinámicos.

3.1 Clasificación de sistemas dinámicos
3.1.1 Discretosy Continuos
Los sistemas dinámicos pueden dividirse en dos grandes clases: aquellos en los que el
tiempo varía continuamente y en los que el tiempo transcurre discretamente. Los sistemas
dinámicos de tiempo continuo se expresan con ecuaciones diferenciales; éstas pueden ser
ecuaciones diferenciales ordinarias (ODEs), ecuaciones diferenciales en derivadas
parciales (PDEs) y ecuacionesdiferenciales con retrasos (DDEs). Por otro lado si el tiempo
es discreto los sistemas se describen por medio de ecuaciones de diferencias (DEs),
también conocidas como mapas iterados.

15

En lo referente a ecuaciones diferenciales, la diferencia entre las ODEs y las PDEs es la
variable con respecto a la cual varían las variables de estado del sistema. En las ODEs sólo
hay una variableindependiente que es generalmente el tiempo (por ejemplo:

dx dt = − exp ( −t ) ). En contraste, en una PDE puede haber 2 o más variables
independientes (por ejemplo: du dt = ∂ 2u ∂x 2 ). Los sistemas dinámicos más comunes en
electrónica son ODEs en el caso de electrónica analógica y DEs con electrónica digital. De
ahora en adelante los sistemas dinámicos que se analizarán estarán representados porODEs, a excepción que se indique lo contrario.
Un sistema dinámico continuo n-dimensional se puede representar por la ecuación

x = F ( x)
donde

x = [ x1

xn ] ∈ » n
T

F =  f1 ( x )… f n ( x )  : » n


T

es el vector de estados,

(3.1)
x = d [ x1

xn ] dt ∈ » n
T

y

»n .

3.1.2 Autónomos y No autónomos
Un sistema dinámico es autónomo si está representado por unaecuación diferencial
ordinaria autónoma o no forzada de la forma

x = F ( x)

(3.2)

mientras que si al sistema dinámico lo modela la ODE no-autónoma o forzada

x = F ( x,t )

(3.3)

el sistema dinámico es no autónomo. La diferencia entre (3.2) y (3.3) radica en que la
primera no contiene ningún estímulo externo al sistema dependiente al sistema que force el
comportamiento naturalde la dinámica del sistema, mientras que (3.3) sí.

16

La función que forza el comportamiento del sistema (3.3) puede ser constante, periódica,
aleatoria, etc.

3.1.3 Invariantes en el tiempo o variantes en el tiempo
Un sistema es invariante en el tiempo si éste no depende explícitamente del tiempo. De la
definición se puede concluir que todo sistema autónomo es invariante en el tiempo.En
general, un sistema dinámico es invariante en el tiempo si

x ( 0 ) = x (δ ) = x 0

⇒ x ( t ) = x ( t + δ ) ∀t

(3.4)

es decir, para que el sistema sea invariante en tiempo dos trayectorias que pasen por el
mismo punto en diferentes tiempos tendrán la misma evolución con un desplazo en el
tiempo. De no cumplir con la ecuación (3.4) el sistema dinámico recibe el nombre de
sistemavariante en el tiempo.

3.1.4 Lineales y No lineales
Un sistema dinámico es lineal si se cumple

x = F ( ax + by ) = aF ( x ) + bF ( y )

(3.5)

es decir, es lineal si la función F que relaciona la tasa de incremento de las variables de
estado con sus valores actuales cumple con el principio de superposición.
Los sistemas lineales son sencillos de analizar y de trabajar, ya que la...