Ecuaciones Diferenciales

1

1.
1.1.

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
PRIMERAS DEFINICIONES. PROBLEMA DEL VALOR INICIAL

Definición 1.1. Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen una variable dependiente y sus derivadas con respecto a una o más variables independientes. Por ejemplo: dy = 30y ó y = 30y (modelo de crecimiento de poblaciones). 1. dt 2. 3. dy = 3(y − 60) ó y = 3(y − 60) (ley deenfriamiento de Newton). dt dy d2 y +3 + 2y = 0 ó y + 3y + 2y = 0. dx2 dx d2 y dx2
2

d3 y +2 4. dx3

= cos x ó y + 2(y )2 = cos x.

Llamamos a la x y a la t variables independientes, y a la y = y(x) ó y = y(t), variable dependiente. A estas ecuaciones con una sola variable independiente se les llama ecuaciones diferenciales ordinarias. El orden de una ecuación diferencial es el de laderivada de mayor orden en la ecuación. Así, y + 3y = x + 2 es de orden 2. El grado de una ecuación diferencial es el grado de la derivada de mayor orden que aparece. Así, (y )3 + 3(y )4 = x + 2 tiene grado 3. Una ecuación diferencial ordinaria general de orden n se suele escribir en la forma F (x, y, y , . . . , y n) ) = 0, aunque otro modo habitual es expresarla en forma canónica o reducida y n) = f(x, y, y , . . . , y n−1) ). Definición 1.2. Dada una ecuación diferencial ordinaria de orden n (1) F (x, y, y , . . . , y n) ) = 0,

llamamos solución de (1) en un intervalo I = (a, b) a una función y = y(x) definida en (a, b) tal que F (x, y(x), y (x), . . . , y n) (x)) = 0 para todo x ∈ I. Ejemplo 1.1. Dada la ecuación diferencial y = 30y, con y = y(t), resulta y = 30 ⇒ y y dt = y 30 dt ⇒ ln y= 30t+C ⇒ y = eC e30t ⇒ y(t) = De30t

De modo que la solución general de la ecuación diferencial y = 30y es y(t) = De30t , con D = eC tomando cualquier valor real positivo. Esta solución representa un modelo de crecimiento de población con recursos ilimitados en el que la velocidad de expansión de la población sólo dependerá del número de individuos iniciales (para tiempo t = 0, tenemos

21 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

y(0) = D = eC individuos). La expresión y(t) = De30t recibe el nombre de familia monoparamétrica de soluciones, ya que para cada valor del parámetro D obtenemos una solución de la ecuación diferencial.

Ejemplo 1.2. Dada la ecuación diferencial de segundo orden y + 16y = 0, la expresión y(x) = C1 cos 4x + C2 sen 4x, es una familia biparamétrica desoluciones de la misma, esto es, para cada par de valores que demos a los parámetros C1 , C2 ∈ R, obtenemos una solución de la ecuación. En efecto, y (x) = −4C1 sen 4x + 4C2 cos 4x y (x) = −16C1 cos 4x − 16C2 sen 4x.

Al sustituir en la ecuación y (x), y(x) por los valores obtenidos, se tiene −16C1 cos 4x − 16C2 sen 4x + 16(C1 cos 4x + C2 sen 4x) = 0, con lo que y(x) = C1 cos 4x + C2 sen 4x cumple laecuación diferencial y es, por tanto, una solución de la misma para cualesquiera valores de C1 y C2 . A menudo interesa resolver una ecuación diferencial y n) = f (x, y, y , . . . , y n−1) ) sujeta a unas condiciones prescritas {y(x0 ) = y0 , y (x0 ) = y1 , . . . , y n−1) (x0 ) = yn−1 }, con y0 , y1 , . . . , yn−1 constantes conocidas. A los problemas de este tipo se les llama problemas de valorinicial. Problema de valor inicial de primer orden. Se trata de encontrar la solución de una ecuación diferencial de primer orden sujeta a una única condición inicial (1) y = f (x, y) y(x0 ) = y0

Valga como ejemplo el problema (1) y = 30y y(0) = 4

Por lo visto en el Ejemplo 1, la solución general es y(t) = De30t . Como, además, debe verificar la condición inicial y(0) = 4, se tiene 4 = De0 =D. En consecuencia, la única solución de la ecuación diferencial que cumple la condición inicial es y(t) = 4e30t .

1.2 ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

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Teorema 1.1. Existencia y unicidad de soluciones. df Sea R = {(x, y) : a < x < b, c < y < d} con (x0 , y0 ) ∈ R. Si f y dx son continuas en R, entonces existe un intervalo I = (x0 − , x0 + ) y una única función y(x) definida en I que cumple...