Ecuaciones Diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR

La forma general de expresar una ecuación diferencial de orden superior es:

[pic]
SOLUCIÓN (CASO HOMOGÉNEO)

Si [pic]son solucioneslinealmente independientes en el intervalo abierto (a,b) de la ecuación diferencial homogénea:
[pic]Entonces cualquier solución de dicha ecuación diferencial, en el intervalo abierto (a,b) se puedeexpresar en la forma:
[pic]

SOLUCIÓN (CASO NO HOMOGÉNEO)

Si [pic]son soluciones linealmente independientes en el intervalo abierto (a,b) de la ecuación diferencial homogénea:
[pic]y [pic] esuna solución particular de la ecuación lineal no homogénea:
[pic]en el intervalo abierto (a,b), entonces cualquier solución de la ecuación diferencial no homogénea, en el intervalo abierto (a,b),se puede expresar en la forma:
[pic]

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES DE ORDEN SUPERIOR

Si se tiene la ecuación diferencial:
[pic]
cada una de sussoluciones tiene la forma:
[pic]

CASO 1
La ecuación auxiliar tiene n raíces reales y distintas : [pic], por lo tanto existen n soluciones linealmente independientes de la forma:
[pic]
Por lotanto la solución general será:
[pic]

CASO 2
La ecuación auxiliar tiene al menos una raíz real de multiplicidad m: [pic], por lo tanto debido a esta raíz existen m soluciones linealmenteindependientes de la forma:
[pic]

CASO 3
La ecuación auxiliar tiene al menos una raíz compleja de multiplicidad m: [pic], por lo tanto debido a esta raíz existen 2m soluciones linealmenteindependientes de la forma:
[pic]

EJEMPLOS:
Determinar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DECOEFICIENTES CONSTANTES NO HOMOGÉNEAS DONDE g(x) SE ESPECIFICA EN EL CUADRO ADJUNTO:

MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS PARA LA OBTENCIÓN DE LA SOLUCIÓN PARTICULAR:

|# |g(x)...