Ecuaciones diferenciales

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EQUIPO No.: FECHA: GRUPO:

UNIVERSIDAD FRANCISCO GAVIDIA FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA ASIGNATURA: MATEMÁTICA IV PROFESOR: LIC. DANILO LEIVA

22 de Octubre de 2009 01

INDICACIONES: de manera limpia y ordenada resuelvan los problemas que a continuación se plantean. Se verificará su participación en la resolución de los problemas a través de un examen corto. Todoslos miembros deben estar preparados para ello. Entregarán al profesor un reporte académico impreso y copia digital en un CD con los problemas resueltos. Fecha de entrega: Miércoles, 4 de Noviembre de 2009. Fecha de examen corto: Lunes, 9 de Noviembre de 2009.

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO:
Vienen dados por la siguiente ecuación diferencial: constante. La constante

dx = kx dt

sujeta a:x(t 0 ) = x0 ,

donde k es una

k

se puede determinar a partir de la solución de la ecuación diferencial usando una

medida posterior de la población en el instante

t1 > t 0 .

ENFRIAMIENTO:
La Ley de Newton del enfriamiento dice que en un cuerpo que se está enfriando, la rapidez con que la temperatura

T (t ) cambia es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpoy la temperatura dT = k (T − Tm ) en donde k es una constante de constante Tm del medio que lo rodea. Esto es, dt
proporcionalidad.

CIRCUITO ELÉCTRICO L-R EN SERIE:
La segunda Ley de Kirchoff dice que en un circuito en serie que contiene sólo una resistencia y una inductancia, la suma de las caídas de voltaje a través del inductor tensión

(E( ) )
t

⎛ di ⎞ ⎜ L ⎟ , y del resistor (iR ) ⎝dt ⎠

es igual a la

aplicada al circuito. Se obtiene así la ecuación diferencial lineal para la corriente

i (t ) ,

L

di + Ri = E(t ) . dt
C
es

CIRCUITO ELÉCTRICO R-C EN SERIE:
La caída de voltaje a través de una capacitor de capacitancia

q (t ) C

, donde

q

es la carga en el

capacitor; por tanto, para un circuito en serie RC, la segunda ley de Kirchhoffestablece:

Ri +

1 q = E (t ) . C

Pero la corriente

i

y la carga

q

se relacionan mediante

i=

dq ; así, la E.D. Se transforma en la E.D. lineal: dt

R

dq 1 + q = E (t ) dt C
dP = P(a − bP ) en dt

ECUACIONES NO LINEALES:
Alrededor de 1840, el matemático–biólogo belga P. F. Verhulst se intereso en formulaciones matemáticas para predecir las poblaciones de varios países. Unade las ecuaciones que estudio fue donde

a y b

son constantes positivas. Esta ecuación pasó a ser conocida como ecuación logística.

Matemática IV

dleiva@ufg.edu.sv

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Para resolver los problemas que se plantean se puede apoyar en el texto de Matemática IV: ZILL,

DENNIS G. y CULLEN, MICHAEL R. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, Vol. 1 EcuacionesDiferenciales. 3ª Edición, McGraw-Hill. México, 2008.
A continuación las interrogantes y problemas a resolver: No Interrogantes / Enunciado de los problemas Responder a las siguientes interrogantes: a) ¿Qué es un modelo matemático? b) ¿Qué significa el nivel de resolución de un modelo? c) ¿Cuáles son los pasos del proceso de modelación? Construya un diagrama. d) ¿A qué se refiere el estado de un sistema? e)Mencione el nombre de 10 modelos matemáticos con su respectiva ecuación diferencial. f) ¿A qué se le llama respuesta del sistema? g) ¿Qué significa el término vida media? h) ¿Cuál es la ecuación logística? Resolver el siguiente problema: En un principio, estaban presentes 100 miligramos de cierta sustancia radiactiva. Después de 6 horas, la masa había disminuido en 3%. Si la tasa de decaimientoes proporcional a la cantidad de sustancia presente en el tiempo t, encuentre: a) la cantidad restante después de 24 horas. b) la cantidad de la sustancia para cuando ∞. c) el tiempo en que la sustancia se reduce al 50%. Resolver el siguiente problema: Se toma un termómetro de una habitación donde la temperatura es de 90° F y se lleva al exterior, donde la temperatura del aire es de 0° F ....