Ecuaciones diferenciales

Unidad 3: Ecuaciones diferenciales y modelado de sistemas
Objetivo: resolver ecuaciones diferenciales mediante software matemático para modelar sistemas mecatrónicos.
Objetivo de aprendizaje: Elaborar un modelo de un sistema físico mediante ecuaciones diferenciales encontrando su solución con el empleo de software matemático.
Definición de ecuación diferencial (ED): Una ecuación que contienelas derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes se llama ecuación diferencial.
“Se llama ecuación diferencial a aquella ecuación que contiene derivadas.”
Clasificación de las ED: las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar según tres características: tipo, orden y linealidad. Según el tipo una ED puede ser ordinaria (EDO)o parcial (EDP). Una EDO es aquella que sólo contiene derivadas ordinarias (derivadas de una o varias funciones de una sola variable independiente). Una EDP, en cambio, contiene derivadas parciales (derivadas de una o varias funciones de dos o más variables independientes). El orden de una ecuación diferencial lo determina el orden de la más alta derivada presente en ella.
La derivada de mayororden que aparece en una ecuación diferencial puede ser afectada de exponentes. El mayor exponente indica el grado de la ecuación diferencial.

Solución de una ED: una función  f, definida en algún intervalo I, es solución de una ecuación diferencial en dicho intervalo, si al sustituirla en la ED la reduce a una identidad.
Las soluciones de las ecuaciones diferenciales puedenser explícitas o implícitas. Una ED tiene, generalmente, un número infinito de soluciones o más bien una familia n-paramétrica de soluciones. El número de parámetros, n, depende del orden de la ED.
Cuando se dan valores específicos a los parámetros arbitrarios, es decir, cuando se asignan valores numéricos a los parámetros, se obtiene una solución particular de la ED. En algunas ocasiones se tiene una solución que nopertenece a la  familia n-paramétrica, a tales soluciones se les llama singulares.
En ocasiones, la solución de las ED pueden basarse en procesos simples de integración, alternativamente se puede recurrir a procesos de derivación, en otras circunstancias se pueden utilizar artificios matemáticos que dependerán de la forma general de las ecuaciones, y en otras ocasiones se utilizaran propiedadesespeciales de las ED.
Cuando no es factible determinar las funciones primitivas correspondientes a una ED, puede resultar conveniente la utilización de métodos numéricos que nos permitan entender su comportamiento.
Ejemplo 1: Dada la siguiente ecuación diferencial encuentre su función primitiva.
dydx=2x-1
Para encontrar la solución, se integra en ambos lados de la ecuación:
dy= 2x-1dx
=2x- 1dx = 2 x-1dx ; se aplican las integrales y se obtiene:
2 ( x22) – x + C = x2- x+C ∴y=x2- x+C

Ejercicio 1: Dada la siguiente ED, encuentre su función.
dydx=2x3- 5x2- 3x+4
dy= 2x3- 5x2- 3x+4dx
=2x3- 5x2- 3x+ 4dx
=2x3- 5x2- 3x+ 4dx
Aplicando formulas integración, se obtiene:
2x44- 5x33- 3x22+4x+C
, reduciendo términos, obtenemos

x42- 5x33- 3x22+4x+C

Ejemplo 2: Verificar sila función detallada a continuación, es solución de la ED planteada.

y= 2e3x + 1; función solución; dydx = 3y-3 ; ecuación diferencial

Solucion:
Calculamos la derivada de la función solución:
dydx=6e3x ; se aplica la formula de derivación 5 dudx ev= evdudx
Reemplazando la función solución y su derivada en la ED:
dydx = 3y-3 → 6e3x= 3(2e3x + 1) – 3 ; y simplificando, se tiene:6e3x=6e3x+ 3- 3→ 6e3x= 6e3x+ 3-3 → 6e3x= 6e3x

Ejercicios prácticos: Verificar si las soluciones detalladas a continuación son las soluciones de las siguientes ED.
a). y=2x →función solución ; dydx=2yx →Ec.Diferencial.
b). y= x2 →función solución ; dydx=2yx →Ec.Diferencial.
c). y=x-1 →funcion solución ; dydx= yx-1 →Ec.Diferencial.
Ecuaciones de primer orden
Para emprender la tarea...