Ecuaciones diferenciales

SANTIAGO TILAPA, TIANGUISTENCO, MÉX., 11 DE OCTUBRE DE 2011
ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES
La ecuación lineal de primer orden, y'+ay=0, donde a es una constante, tiene la solución exponencial y= c1 e-ax en el intervalo (-∞,∞), por consiguiente, lo más natural es determinar si existen soluciones exponenciales en (-∞,∞) de las ecuaciones lineales homogéneas de ordensuperior del tipo
(1)
an y(n)+an-1y(n-1)+…+a2y''+a1y'+a0y=0
En donde los coeficientes ai, i=0,1,…., n son constantes reales y an≠0. Para nuestra sorpresa, todas las soluciones de la ecuación (1) son funciones exponenciales o están formadas por funciones exponenciales.
Ecuación auxiliar. Comenzaremos con el caso especial de la ecuación de segundo orden
(2)
ay''+by'+cy=0
Si se prueba conuna solución de la forma y=emx, entonces, después de sustituir y'=memx y y''=m2emx la ecuación (2) se transforma en
am2emx+bmemx+cemx=0 o sea emxam2+bm+c=0.
Como emx nunca es cero cuando x tiene valor real, la única forma en que la función exponencial satisface la ecuación diferencial es cuando se elige una m como una raíz de la ecuación cuadrática
(3)
am2+bm+c=0
Esta ecuación se llamaecuación auxiliar o ecuación característica de la ecuación diferencial (2). Como las dos raíces de la ecuación (3) son m1=(-b+b2-4ac)/2a y m2=(-b-b2-4ac)/2a, habrá tres formas de la solución general de la ecuación (2), que corresponden a los tres casos siguientes:
* m1+m2 reales y distintos b2-4ac>0,
* m1+m2 reales e iguales b2-4ac=0 y
* m1+m2 números complejos conjugados b2-4ac<0,Cada uno de estos casos se discuten a continuación
Caso I. Raíces reales distintas. Si la ecuación (3) tienes dos raíces reales distintas, m1 y m2, llegamos a dos soluciones, y1=em1x y y2=em2x. Estas funciones son linealmente independientes en (-∞,∞) y, en consecuencia, forman un conjunto fundamental. Entonces, la solución general de la ecuación (2) en ese intervalo es
(4)
y=c1em1x+c2em2x
CasoII. Raíces reales repetidas. Cuando m1=m2 llegamos, necesariamente, sólo a una solución exponencial, y1=em1x. Según la fórmula cuadrática, m1=-b2a porque la única forma de que m1=m2 es que b2-4ac=0. Así una segunda solución de la ecuación es
(5)
y2=em1xe2m1xe2m1xdx=em1xdx=xem1x
En esta ecuación se aprovecha que se aprovecha que -ba=2m1. La solución general es, en consecuencia,
(6)y=c1em1x+c2xem1x
Caso III. Raíces complejas conjugadas. Si m1 y m2 son complejas, podremos escribir m1=∝+iβ y m2=∝-iβ, donde α y β>0 son reales, e i2=-1. No hay diferencia forma entre este caso y el caso I; por ello,
y=C1eα+iβx+C2eα-iβx
Sin embargo, en la práctica se prefiere trabajar con funciones reales y no con exponenciales complejas. Con este objeto se usa la fórmula de Euler:
(7)
eiθ=cosθ+isen θ,
La solución general es,
(8)
y=c1eαxcosβx+c2eαxsenβx=eαx(c1cosβx+c2sen βx)
EJEMPLO
Resuelva las ecuaciones diferenciales siguientes:
(a) 2y''-5y'-3y=0 (b) y''-10y'+25y=0 (c) y''+4y'+7y
Solución. Se presentan las ecuaciones auxiliares, raíces y soluciones generales correspondientes.
(a) 2m2-5m-3=2m+1m-3, m1= -12, m2=3
De acuerdo con (4), y=c1e-x/2+c2e3x ,
(b) m2-10m+25=m-52,m1=m2=5
De acuerdo con (6), y=c1e5x+xc2e5x
(c) m2+4m+7=0, m1=-2+3i, m2=-2-3i
De la ecuación (8), con α=-2, β=3, y=e-2xc1cos3x+ c2 sen 3x.

COEFICIENTES INDETERMINADOS, MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN
Para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea
(1)
an y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y'+a0y=g(x)
debemos pasar por dos etapas: (i) Determinar la función complementaria yc y (ii) Encontrarcualquier solución particular de (1). Entonces la solución general de (1) en un intervalo es y=yc+yp. En este apartado se examinará un método para obtener una solución particular yp.
Método de los coeficientes indeterminados. La función complementaria yc es la solución general de la ecuación homogénea asociada an y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y'+a0y=0. El primero de los métodos que se deben considerar para...