Ecuaciones Diferenciales

“Análisis y Solución de
Ecuaciones Diferenciales lineales
en el dominio del tiempo y en la
frecuencia (Laplace).”

Doctor Francisco Palomera Palacios
Departamento de Mecatrónica y Automatización,
ITESM, Campus Monterrey
fpalomera@itesm.mx
fpalomera@itesm mx

Motivación
• Análisis y estudio intuitivo del comportamiento
de
sistemas
representados
ecuaciones
diferenciales linealesc c c a través de la
c.c.c.
transformada de Laplace.
• Simulación e interpretación gráfica de una
respuesta transitoria y en estado estacionario.
• Analogía de sistemas físicos (analogía de
comportamientos de sistemas de diferente
naturaleza)

Contenido
• Relación causa-efecto en sistemas físicos.
• Ecuación Diferencial lineal de Primer Orden c c c e
c.c.c.
interpretación de susparámetros.
• Función de Transferencia y Respuesta para una
ecuación diferencial lineal c.c.c.
• Polos y ceros de una función F(s).
• Evaluación de una función respuesta: y(0) y y(∞) en el
dominio de la frecuencia.
• Analogía de sistemas físicos
g
• Representación de sistemas cuyo comportamiento de
respuesta transitoria es similar.
• C
Conclusiones.
• Ejercicios.

Modelación deSistemas Dinámicos utilizando
Ecuaciones Diferenciales lineales c c c.
c.c.c
c.c.c.
-Sistema Mecánico (sistema de suspensión en los autos)
- Sistema Hidráulico (llenado de un tanque)
- Sistema térmico (temperatura en un horno)

Sistemas
Físicos

-Sistema Eléctrico (velocidad de motores)
Sistema
- Sistema Fisiológico (efecto de una dosis en el cuerpo h. )
- Sistema Económico ( inflación)
-Sistema de producción (rates de producción entre máquinas)

Sistema Físico
u(t)

a modelar

Función forzante
F
ió f
t
Relación causal

y(t)
p
Respuesta del sistema
o función subsidiaria

Relación causa-efecto a ser modelada por
causauna ecuación diferencial
ió dif
i l
Flujo de
Temperatura: y(t)

Combustible:

Horno

u(t): función de
entrada o
forzante

FunciónRespuesta o subsidiaria

Relación causal

τ

dy(t)
+ y(t) = K u(t)
dt

Temperatura
p

2

d y (t ) + b dy (t ) + y (t ) = Ku (t )
a
dt

2

dt

Flujo de gas

Para obtener una ecuación diferencial,
podemos utilizar:
d
tili
• Leyes físicas que de acuerdo a la naturaleza del sistema,
físicas:

rigen la relación causal entre las variables de interés.
• Pruebasexperimentales (análisis de la respuesta transitoria

del sistema ante una función forzante conocida).
• Por analogías de comportamientos entre sistemas que guardan
un comportamiento similar, a pesar de ser de naturaleza diferente.
• Aplicación de algoritmos y recursos computacionales para
procesar los datos obtenidos de pruebas experimentales y
generar un modelo matemático deseado.
…Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con
coeficientes constantes
fi i t
t t
Modelo:

dy(t)
τ
+ y(t) = K u(t)
dt

Donde:
y(t) : función respuesta o subsidiaria del sistema,
u(t) : señal de entrada al sistema
(τ :Tao ): constante de tiempo (cuyo valor es una
medida de la velocidad de la respuesta del sistema. A
menor valor de TAO el sistema es más rápido en
responder). Unvalor de: τ =10 segundos, es tres
veces más rápida que un valor de τ = 30 segundos.)
K: ganancia en estado estacionario (es una medida
g
(
de la sensibilidad del sistema. Un valor de K= 3 es
dos veces más sensible que un valor de K= 1.5)

Ejemplos de ecuaciones
diferenciales
dif
i l
dy(t)
6
+ y(t) = 2.4 u(t).......( 1 )
dt
dy(t)
4
+ y(t) = 1.2 u(t).......(2)
()
()
dt
dy(t)
y()
2
+ y(t) = 0.6 u(t).......( 3 )
(t)
(t)
(
dt
¿Cuál ecuación diferencial representa al sistema con la
respuesta más rápida? Justifique
¿Cuál es la ecuación diferencial que representa al sistema más
sensible a un cambio de entrada? Justifique

Ejemplos de ecuaciones
diferenciales de Primer Orden
dif
i l d Pi
Od
dy(t)
+ y(t) = 2.4 u(t).......(1)
dt
dy(t)
4
+ y(t) = 1.2...