Ecuaciones diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES
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Ignacio Gracia Rivas 1 , Narciso Roman-Roy 2
Departamento de de Matem´tica Aplicada IV
a
C/ Jordi Girona 1. Edificio C-3, Campus Norte UPC
E-08034 Barcelona

October 3, 2008

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e-mail: IGNACIO@MAT.UPC.ES
e-mail: MATNRR@MAT.UPC.ES

Prefacio
Estos Apuntes de Ecuaciones Diferenciales constituyen una gu´ personal a la asignatura de Ecuaciones
ıaDiferenciales que se imparte en la E.T.S.E.T.B. en el curso 1-B de la carrera de Ingenier´ de Telecoıa
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municacion (Plan de Estudios 1992). Por tanto, en ning´n momento pretenden ser una gu´ oficial, ni tan
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siquiera una pauta a seguir respecto a como debe ser impartida la asignatura.
Debemos agradecer la colaboraci´n de muchos compa˜eros que han impartido esta asignatura y que,
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adem´sde hacerme valiosas sugerencias, han detectado erratas y errores que han sido ya corregidos (aunque
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somos conscientes de que todav´ pueden quedar otros muchos por detectar). Especialmente nuestro agradecıa
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imiento a L.L. Andres Yebra, por permitirnos el uso y transcripci´n de sus apuntes sobre el tema de la
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transformaci´n de Laplace.
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Contents
1 Ecuaciones Diferenciales dePrimer Orden

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1.1

Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2

Definiciones, interpretaci´n geom´trica y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2.1

Definiciones b´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2.2

Interpretaci´ngeom´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2.3

Ejemplos de aplicaciones f´
ısicas y matem´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3

Resoluci´n de ecuaciones de variables separables, lineales y homog´neas . . . . . . . . . . . .
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4

1.3.1

Ecuaciones integrables elementalmente . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .

4

1.3.2

Ecuaciones de variables separadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.3

Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.4

Ecuaciones homog´neas: cambio de variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.3.5

Ecuaciones de Bernouilli y deRiccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Aplicaciones: familias de curvas, modelos matem´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9

1.4.1

Trayectorias ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4.2

Modelos de poblaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.4.3

Desintegraci´n radiactiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11

1.3

1.4

1.5

. . . . . . . . .

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1.5.1

Presentaci´n del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.5.2

Teoremas de existencia y unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.5.3Dependencia continua de las soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

M´todos num´ricos de resoluci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.6.1

Ideas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.6.2

M´todo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.6.3

M´todo de Euler modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.6.4

1.6

Resultados de existencia y unicidad y de dependencia continua de soluciones

M´todo de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Ecuaciones Diferenciales (Lineales)...