Ecuaciones diferenciales

´ CAPITULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

1.

´ INTERROGANTES CENTRALES DEL CAPITULO • Tipo y orden de una ecuaci´ n diferencial o • Soluci´ n de una ecuaci´ n diferencial o o • Ecuaciones de primer orden separables • Ecuaciones de primer orden homog´ neas e • Ecuaciones de primer orden lineales • Ecuaciones de primer orden exactas • Ecuaciones lineales de segundo orden • M´ todo delos coeficientes indeterminados e • M´ todo de variaci´ n de par´ metros e o a • Ecuaciones lineales de orden superior

2.

´ CONTENIDOS FUNDAMENTALES DEL CAPITULO

2.1. Definiciones y conceptos b´ sicos a Una ecuaci´ n diferencial es una ecuaci´ n en la que interviene una funci´ n inc´ gnita y una o varias de sus derio o o o vadas. Este tipo de ecuaciones aparece en el estudio de numerososfen´ menos f´sicos y qu´micos: desintegraci´ n o ı ı o radiactiva, crecimiento de poblaciones, reacciones qu´micas, problemas gravitatorios, etc. No es exagerado afirı mar que la naturaleza se describe por medio de ecuaciones diferenciales, de modo que un conocimiento de esta ´ ultima materia nos ayudar´ a entender mejor los fen´ menos naturales. a o Las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar, b´sicamente, atendiendo a dos criterios: a ´ o o o (1) TIPO: Si la funci´ n inc´ gnita contiene una unica variable independiente, entonces la ecuaci´ n se denomina ecuaci´ n diferencial ordinaria, abreviadamente E.D.O. En otro caso, cuando la funci´ n inc´ gnita contiene o o o dos o m´ s variables independientes, la ecuaci´ n se dice que es una ecuaci´ n diferencial en derivadas a o o parciales.(2) ORDEN: Es la derivada de orden m´ s alto que aparece en la ecuaci´ n diferencial. a o Es innecesario decir que el estudio de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales requiere unas t´ cnicas e matem´ ticas que est´ n fuera del alcance del alumno, por lo que nos restringiremos al an´ lisis de las ecuaciones a a a diferenciales ordinarias. Consideremos una ecuaci´ n diferencial ordinariao F (x, y, y , y , . . .) = 0.

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´ MATEM ATICAS

Diremos que una funci´ n y = f (x) es una soluci´ n de la ecuaci´ n diferencial si la ecuaci´ n se satisface al sustituir o o o o en ella y y sus derivadas por f (x) y sus derivadas respectivas. La soluci´ n general de una ecuaci´ n diferencial ordinaria es una funci´ n y = f (x, c1 , c2 , . . .) dependiente de o o o una o variasconstantes tal que cualquier soluci´ n de la ecuaci´ n diferencial se obtiene dando valores espec´ficos o o ı a una o m´ s de las constantes. Cuando damos valores concretos a todas las constantes de la soluci´ n general, a o surge una soluci´ n particular. Geom´ tricamente, la soluci´ n general de una ecuaci´ n diferencial de primer o e o o orden representa una familia de curvas, denominadas curvas soluci´n, una para cada valor concreto asignado a la o constante arbitraria. En la pr´ ctica, la determinaci´ n de las constantes que aparecen en la soluci´ n general se realiza a partir de las a o o condiciones iniciales del problema. Las condiciones iniciales del problema son los valores que adquiere la funci´ n o soluci´ n o sus derivadas en determinados puntos. Por ejemplo, para una ecuaci´ ndiferencial de primer orden o o y = F (x, y), una condici´ n inicial se expresar´a en la forma o ı y(x0 ) = y0 . En consecuencia, y = f (x) es soluci´ n si f (x) = F (x, f (x)) para todo valor de x en cierto intervalo, y f (x0 ) = o y0 .

2.2. Ecuaciones diferenciales de primer orden o o Una ecuaci´ n diferencial ordinaria de primer orden es una ecuaci´ n de la forma y = F (x, y), donde F es unafunci´ n que depende de las variables x e y. Esta clase de ecuaciones diferenciales son de las o m´ s sencillas, y su resoluci´ n se puede realizar utilizando diversas t´ cnicas. Describimos a continuaci´ n las m´ s a o e o a importantes.

2.2.1. Ecuaciones separables Una ecuaci´ n diferencial de primer orden se dice que es separable si puede escribirse en la forma o M (x) + N (y) dy = 0, dx...