Ecuaciones diferenciales

FUNCIONES
Definición: Sea D un subconjunto no vacío de R, es decir D⊂R. Se llama función real de variable real a toda aplicación f de D en R, y se designa por f :D → R
xa f ( x)

Intuitivamente, una función real de variable real asigna a cada elemento ,x, de D un elemento ,y, de R, y sólo uno. - El subconjunto D se llama dominio de definición o campo de existencia de la función f. Se designapor Dom(f). - Al número x∈D se le llama variable independiente. Su dominio de definición es precisamente D. - Al número y∈R asociado por f al número x, se le llama variable dependiente. Es evidente que y depende de x, de ahí su nombre. Por eso, también se designa la imagen de x por f(x), es decir, y=f(x). - Se llama recorrido de una función, al conjunto de las imágenes de la variableindependiente, es decir, al conjunto de los valores de R que tienen por original al menos un elemento de D. Se designa por f(D) o Im(f). Ejemplos: f(x)=x2 Im(f)=R+ Dom(f)=R 2x g( x) = 2 Im(g)=R Dom(g)=R-{-2,2} x −4 h( x) = x2 − 4 Im(h)=R+ Dom(h)=R-(-2,2) Representación gráfica Sea f:D→R una función. Se llama grafo de la función f y se designa por Gf al subconjunto de DxR dado por Gf={ (x,f(x)) / x∈D}.Considerando en el plano afín el sistema de referencia canónico, la figura del plano afín determinada por los puntos correspondientes a los elementos del grafo, recibe el nombre de gráfica de la función. 6 Ejemplo: f ( x) = donde Dom(f)=R-{0} x x y (x,f(x)) -6 -1 (-6,-1) -3 -2 (-3,-2) -2 -3 (-2,-3) -1 -6 (-1,-6) … … … 1 6 (1,6) 2 3 (2,3) 3 2 (3,2) 6 1 (6,1) … … …
4

x si x < 2 g( x ) =  3 si x ≥ 23 2 1

0

1

2

3

4

5

1

Adición de funciones Sean f y g dos funciones cuyos dominios son D1 y D2 respectivamente. Se llama suma de las funciones f y g, y se designa por f+g, a la función cuyo dominio es D1∩D2 tal que (f+g)(x)=f(x)+g(x).

Ejercicio: Si f(x)=2x+2 y g(x)=-x-1. Representar gráficamente las funciones f,g y f+g.
Propiedades: - No siempre está definida lafunción suma, pues en el caso en que D1∩D2=∅ no existe dominio para la suma. - Asociativa: f+(g+h)=(f+g)+h - Conmutativa: f+g=g+f - E. Neutro: la función cero, f(x)=0 ∀x∈R. - E. Opuesto: La función opuesta de f(x) es (-f)(x)=-f(x). Producto de funciones

Si f:D1→R y g:D2→R son dos funciones, se llama producto de f y g, y se designa por fg, a la función: fg:D1∩D2→R tal que fg(x)=f(x)g(x). Es evidenteque D1∩D2≠∅ para que exista el producto.
Propiedades: - Asociativa: f(gh)=(fg)h - Conmutativa: fg=gf - E. neutro: Función unidad, f(x)=1 ∀x∈R.

- E. inverso: la función inversa de f(x) es - Distributiva: f(g+h)=fg+fh

1 si f(x)≠0 ∀x∈D. f ( x)

Ante estas propiedades el conjunto de las funciones definidas en un dominio D con las operaciones anteriores, (F(D,R),+,⋅) es un anillo conmutativo yunitario.
Producto de un número por una función

Sea f:D→R una función real y a∈R. Se llama producto de a por f, y se designa por af, a la función af:D→R donde (af)(x)=af(x).
Propiedades: - (a+b)f=af+bf - a(f+g)=af+ag - a(bf)=(ab)f - 1f=f

Con estas propiedades, el conjunto de las funciones reales definidas en D (F(D,R),+,⋅R) es un espacio vectorial.

2

Composición de funcionesConsideremos las funciones f(x)=2x+1 y g(x)=x2. A partir de estas dos funciones vamos obtener otra, tal como se indica en las siguientes tablas, que va a ser la función compuesta de f con g.

x -2 -1 0 1 2 3 …

f(x) -3 -1 1 3 5 7 …

g(f(x) 9 1 1 9 25 49 …

→

x -2 -1 0 1 2 3 …

g(f(x) 9 1 1 9 25 49 …

Nótese que g actúa sobre las imágenes de f según el esquema siguiente:
x f(x) g(f(x)

gf

La función obtenida por la aplicación sucesiva de f y g, se representa por gof ( se lee f compuesta con g). Por tanto (gof)(x)=g[f(x)] En el ejemplo anterior: (gof)(x)=g[f(x)]=g(2x+1)=(2x+1)2 Si Dom(f)=D1 y Dom(g)=D2, puede ocurrir que algún valor de f(x) no esté en el dominio D2 de g y entonces g no puede actuar sobre él. Entonces el dominio de gof es D1 menos los valores tales que...