Ecuaciones diferenciales

Las Torres de Hanoi Introducción La recurrencia Conclusión Arturo Pérez París y Julio Gutiérrez. Universidad de Alcalá. Introducción Nos proponemos publicar una serie de artículos encaminados a presentar, tanto a los iniciados como a los neófitos, el método numérico de resolución de ecuaciones diferenciales denominado "diferencias finitas". Para ello, hemos creído conveniente comenzar con unsencillo ejemplo, antes de profundizar en el tema. En las ciencias de la computación y sobre todo en lo referente a su aplicación sobre sistemas de control digital, la aplicación de esta herramienta matemática es de gran importancia y potencia. Nos permite la síntesis de programas que realicen, a través de la adecuada ecuación, una determinada tarea que sabemos con certeza, de forma empírica, cómosería (o habría de ser) mediante una secuencia de "n" procesos (o elementos en la jerga de los expertos). El presente artículo pretende introducir al lector, a la manera de libro de cocina, en los misterios de la recurrencia. Está orientado, fundamentalmente, a aquellos estudiantes que, en un momento u otro de su formación, requieran de estos métodos sencillos y rápidos. La recurrencia Como decíamos,el estudio de la solución numérica de ecuaciones diferenciales por el método de las diferencias finitas dirigido, fundamentalmente, a una audiencia no especializada, requiere, a modo de introducción, algunas consideraciones más generales. Lo más práctico, dada su semejanza con el proceso de resolución que pretendemos exponer, es comenzar por describir un clásico rompecabezas que, si bien es muyconocido por los amantes de los juegos matemáticos, no está muy difundido. Nos estamos refiriendo a las "Torres de Hanoi", uno de los problemas que nos enfrentan con temas contrapuestos: recurrencia e iteración, unidad y diversidad. No analizaremos aquí la iteración, por no ser de relevancia en el objetivo que nos hemos propuesto. Si algún lector está interesado ello, volveríamos a insistir sobre eltema. Aparte de su interés matemático, este rompecabezas, como otros muchos, resulta entretenido y hasta divertido, ya que confunde al neófito a la vez que le proporciona un sentimiento de satisfacción al recorrer el camino del lento progreso que le lleva a descubrir los entresijos y los misterios del pensamiento abstracto. Las Torres de Hanoi consisten en un tablero con tres varillas verticales.Cuando se inicia el juego, en una de las varillas (llamémosla A) se encuentra insertado un conjunto de discos de diferentes diámetros, apilados de mayor a menor, de forma que uno de mayor tamaño tiene por encima los de menor radio.

Estado inicial o Estado 0 El jugador debe trasladar todos los discos a otra de las tres varillas verticales (digamos que sea a la B), con la misma estructura, esdecir, la pila debe terminar con los discos gradualmente colocados de mayor a menor, con el de diámetro más pequeño en lo alto. La manipulación correspondiente ha de atenerse a las siguientes reglas: 1. Los discos han de trasladarse de uno en uno, al pasarlos de una varilla a otra. 2. Ningún disco debe tener colocado encima otro de mayor tamaño. Obviamente, ateniéndonos a las reglas anteriores, elprimer disco a mover es el más pequeño (sea a la varilla B). El siguiente movimiento no trivial consistirá en mover el disco de diámetro inmediatamente mayor a la varilla que queda libre (la C), ya que no se puede superponer al pequeño. Ahora el jugador debe decidir qué disco mover. Sólo tiene la opción de mover el disco más pequeño, pero ¿a qué varilla debe trasladarlo? Las posibilidades sondevolverlo a la varilla inicial (A) o colocarlo sobre el disco inmediatamente mayor (varilla C). Aquí se enfrenta con un dilema, conocido como bifurcación, aunque en este caso sea simple tomar una decisión. En estadios más adelantados, podrá cometer errores que le obliguen a dar marcha atrás. Si toma la primera alternativa (devolver el disco pequeño a la varilla A), no habrá conseguido nada, si...