Ecuaciones diferenciales

INTRODUCCION

Una ecuación es una igualdad condicional que se cumple sólo para las soluciones de la misma. Así, en una ecuación algebraica como x-2= 0 , la igualdad sólo se cumple parax = 2.
En forma similar, una ecuación diferencial, constituida por funciones y sus derivadas, es una igualdad que se cumple sólo para las funciones que son soluciones de la misma. Así, si tenemos f(x) = f’(x),la solución será la función exponencial “e elevado a la x”, ya que es la única función cuya derivada es igual a la función misma.
El grado de una ecuación diferencial (que puede escribirse como un polinomio con respecto a las derivadas), es la potencia que aparece en la derivada más alta en la ecuación. Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma:

Generalmente es muy difícilencontrar la solución de una ecuación de este tipo, Por lo que para los casosespecíficos de estas ecuaciones se han desarrollado una serie de sustituciones para transforman la ecuación originalen una que pueda resolverse eficazmente. Uno de los métodos está en hacer una adecuada sustitución para rebajar el orden y, despues, tratar de resolver la nueva ecuación generada.
También entre las numerosastécnicas matemáticas utilizadas en la resolución de una ecuación diferencial se encuentra la transformada de Laplace que puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ecuaciones diferénciales con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es elconocimiento de las condiciones iniciales a la misma ecuación diferencial. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ecuación diferencial es una función seccionada.

OBEJTIVOS

* Identificar y resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden.

* Calcular transformadas directas e inversas de Laplace, aplicando cada una de suspropiedades.

JUSTIFICACION

Las ecuaciones diferenciales se hacen presentes en muchos aspectos y fenómenos de la vida cotidiana, y son en la totalidad de los casos resultado de un modelo o técnica matemática utilizada para buscar explicaciones a los diferentes fenómenos, por lo que se hace sumamente importante la resolución de la ecuación diferencial para la comprensión total del fenómeno estudiado.Según la complejidad de la ecuación en este caso la ecuación diferencial de segundo orden, deben ser reducidas a ecuaciones más sencillas como las de primer orden, y utilizando las diferentes transformada, como Laplace, para así facilitar la resolución de la ecuación diferencial.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

1. Ecuaciones diferenciales de segundo orden reducibles a primerorden.
Uno de los hechos matemáticos más interesantes al estudiar ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden es que podemos formar una segunda solución,y2, de

1.1) Si la ecuación diferencial de segundo orden no contiene y, puede escribirse como sigue:
d2ydx2=f(x,dydx) (1)
Considerando que dydx es la variable dependiente, y haciendo
p= dydx (2)
Se recibe:
d2ydx2=ddxdydx= dpdx (3)
Sustituyendo 2 y 3 en 1, se obtiene la siguiente ecuación:
dpdx=fx,p (4)
La ecuación 4 es una ecuación diferencial de primer orden.

Ejemplo 1
x2 d2ydx2+ dydx2= 0 (5)
La ecuación 5 no contiene y, entonces:
p= dydx y d2ydx2=dpdx
Reemplazando estos valores en la ecuación 5 se obtiene
x2dpdx+ p2=0
La solución de esta ecuación es:
p= -C1xx+ C1 C1 es unaconstante de integración
Entonces
dydx= -C1xx+ C1
Integrando con respecto a xse obtiene
y= -C1xx+ C1dx
o bien
y= C12ln x+ C1- C1x+ C2
Donde C1 y C2 son constantes arbitrarias.

1.2) En caso de que la ecuación diferencial no contengax puede escribirse en la forma siguiente:
d2ydx2=f(y,dydx) (6)
En este caso también se hace
p= dydx (7)
Entonces
d2ydx2= ddxdydx= dpdydydx=pdpdy (8)...