Ecuaciones Diferenciales

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la Educación universitaria
Universidad Nacional Experimental
de los llanos Occidentales Ezequiel Zamora
Extensión el piñal

Ecuaciones diferenciales con coeficiente constante

Junio 2011
Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes

Se lama sistema linealcon coeficientes constantes al siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden
x’1 = a11x1+a12x2+...+a1nxn+b1(t)
x’2 = a21x1+a22x2+…+a2nxn+b2t
··················
x’n =an1x1+an2x2+...+annxn+bn(t)

Donde t es la variable independiente yxi = xi(t), 1≤ i≤n son n funciones de t (variables dependientes).
Se llama solución del sistema a un conjunto de n funciones
xi =φit,1≤ i≤n
Todo sistema lineal admite una expresión matricial de la forma:

x’=Ax+b


a11 a12··· a1n
a21 a22··· a2n
··· ··· ··· ···
··· ··· ··· ··· ∈Mn×nR
an1 an2··· ann

 x=xt= x1t ; x’=x’t= x’1t ; b=b(t)=x2t x’2t
··· …….
xn(t) x’n(t)

Si b=b(t) ≡0, el sistema lineal se llama homogéneo.

Sistemas y Ecuaciones lineales
Toda ecuación lineal de coeficientes constantes
a0y(n)+a1y(n-1)+...+an-1y’+any =b(t)
donde t es lavariable independiente e y la dependiente, se puede transformar en un sistema lineal de orden n con coeficientes constantes llamando
xi =y(i-1),1≤i ≤n,
Con lo que se llega al sistema :
x’1=x2
x’2=x3
………..
x’n-1=xnx’n=anaox1 –an-1aox2-…a1aoxn+b(t)a

La solución x1 de en el sistema será la solución de y en la ecuación diferencial.
Un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de varias ecuaciones diferenciales con varias funciones incógnitas y un conjunto de condiciones de contorno. Una solución del mismo es un conjunto de funciones diferenciables que satisfacentodas y cada una de las ecuaciones del sistema. Según el tipo de ecuaciones diferenciales pude tenerse un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias o un sistema de ecuaciones en derivadas parciales.

Sistemas lineales de coeficientes constantes
Un sistema lineal de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes es un sistema de la forma:

Donde representa el vector de funcionesincógnita. La solución de este sistema viene dada por la exponenciación de la matriz de coeficientes:

Como ejemplo podemos considerar el siguiente sistema homogéneo:

Los valores propios de la matriz son y por tanto la exponenciación de la matriz da lugar a funciones trigonométricas al tener parte imaginaria no nula, de hecho, la solución calculada a partir de la exponenciación resulta:Ecuaciones de primer orden
Una ecuación diferencial lineal de orden uno en la variable x es una ecuación diferencial de la forma:
˙x=a(t)x+b(t).
donde a y b son funciones dadas.
Cuando la función a es constante, a(t)=α, decimos que es una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes.
Solución de la ecuación homogénea. Consideramos en primer lugar el caso en el que la función b es nula, esdecir ˙x = αx. Se habla en este caso de la ecuación homogénea. Dividiendo por x e integrando entre t0 y t, obtenemos:
lnxt-lnxt0=tot.xTxtdt=tot∝dt=∝(t-to)
Tomando la exponencial y simplificando
xt=xtoe∝(t-to)
Por tanto, para conocer la solución necesitamos conocer el valor de la variable x en un instante inicial t0, es decir, lo que vamos a resolver son problemas de valor inicial, en los...