Ecuaciones Diferenciales

En una ecuación diferencial por ejemplo.
dTdt+kT=kTm

Donde k es una constante positiva de proporcionalidad. Una vez k se elige positivo, el signo menos se requiere en la ley de Newton para hacer dT/dt negativo en un proceso de enfriamiento, cuando T es mayor que Tm y positivo en un sistema de calefacción proceso, cuando T es menor que Tm.
La caída de los problemas del cuerpo.
Considere laposibilidad de una caída vertical de cuerpo de masa m que se esta influenciada solo por la gravedad g, y una resistencia del aire es proporcional a la velocidad del cuerpo. Supongamos que la gravedad y la masa permanece constante y, por conveniencia, elegir la dirección hacia abajo, como la dirección positiva.
La segunda ley de Newton del movimiento: la fuerza neta actuando sobre un cuerpo esigual a la razón de cambio de la fuerza del cuerpo o bien, para la constante de masas, F=m dv/dt, donde F es la fuerza neta sobre el cuerpo y es la v la velocidad del cuerpo, tanto en el tiempo (t).
Para empezar el problema en cuestión, hay dos fuerzas que actúan sobre el cuerpo:
La Fuerza debido a la gravedad dada por el peso w del cuerpo, lo que equivale a mg.
La Fuerza debido a la resistenciadel aire dado por kv, donde k => 0 es una constante de proporsionalidad. El signo menos es necesario porque esta fuerza se opone a la velocidad, es decir, que actua en el ascendente, o negativo, la dirección.
La Fuerza neta F sobre el cuerpo es, por tanto, F= mg-kv sustituyendo este resultado se obtiene
Mg-kv=m dv/dt
Dv/dt + k/m*v= g
Como la ecuación de movimiento para el cuerpo. Si laresistencia del aire es insignificante o inexistente, entonces K=0 y simplifica a
dv/dt=g
cuando k>0, la velocidad limite vl se define por
Vl= mg/k

En cinemática, la caída libre es un movimiento de un cuerpo dónde solamente influye la gravedad. En este movimiento se desprecia el rozamiento del cuerpo con el aire, es decir, se estudia en el vacío. El movimiento de la caída libre esun movimiento uniformemente acelerado. La aceleración instantánea es independiente de la masa del cuerpo, es decir, si dejamos caer un coche y una pulga, ambos cuerpo tendrán la misma aceleración, que coincide con la aceleración de la gravedad (g). Esto lo podemos demostrar del siguiente modo:
Sabemos por la segunda ley de Newton que la fuerza es igual al producto entre la masa del cuerpo y laaceleración.
F=ma
La única fuerza que influye en la caída libre (recordamos que se desprecia el rozamiento con el aire) es el peso, que es igual al producto entre la masa del cuerpo y la constante gravitatoria g.
F=P=mg
Despejamos la primera ecuación de la aceleración
a=F/m
sustituimos la fuerza
a= mg/m
Por lo tanto nos queda que la aceleración del cuerpo siempre coincide con la constantegravitatoria.
Otra forma de demostrar que la aceleración de los cuerpos en caída libre en el vacío tiene que ser la misma sin importar el peso de los objetos, es mediante un simple desarrollo lógico:
Supongamos dos cuerpos, el primero del doble de peso que el segundo. Ahora, interpretemos al primer objeto como dos de los segundos objetos unidos de alguna forma, entonces la aceleración del objeto más pesadodebería ser la misma que la de cada uno de los dos objetos más livianos, puesto que si así no fuera entonces un cuerpo debería caer a diferentes velocidades dependiendo de si lo vemos como un solo objeto o como sus partes unidas.
Los problemas de dilución
Considere la posibilidad de un tanque que inicialmente contiene Vo galones de salmuera que contiene una libra de sal. Otra solución, quecontiene B libras de sal por galon, se vierte en el tanque a razón de gal /min, mientras que al mismo tiempo, la solución bien agitada sale del tanque a razón de F gal/min.
El problema es para encontrar la cantidad de sal del tanque en cualquier tiempo (t). Sea Q indica la cantidad de sal en el depósitos en cualquier momento. La tasa de variación de la Q, dQ/dt, es igual a la velocidad a la que...