Ecuaciones Diferenciales

Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de primer orden

Ejemplo 1

(CURVA APRENDIZAJE) La razón a la que las personas oyen hablar acerca de un nuevo aumento en los impuestos prediales esproporcional al número de personas en el país que no ha oído hablar al respecto.
a) Plantee la ecuación diferencial que describe el modelo
b) Encuentre la solución general de la ecuacióndiferencial planteada.
c) Grafique la solución general obtenida y analice la estabilidad dinámica.

SOLUCIÓN:

Sea Q

: Cantidad de personas que han oído hablar sobre el aumento

B : PoblaciónTotal

B − Q

: Cantidad de personas que no han oído hablar sobre el aumento

k : Constante de proporcionalidad

dQ
a) La ecuación para el modelo sería:
dt

= k (B

− Q )

dQ
b) Laecuación
dt

+ kQ

= kB

es lineal, por tanto su solución sería:
∫
⎡ ⎤

Q ( t ) =

1
kdt
∫
e
⎡

⎢ kBe
⎢⎣
kt

kt dt

⎤

+ C ⎥
⎦⎥

Q ( t ) =

e − kt

⎢ kB e
⎢⎣ k+ C ⎥
⎥⎦

Q ( t ) =

B + Ce

− kt

c) la gráfica de la curva aprendizaje sería:

Se observa que cuando ha transcurrido mucho tiempo Q

converge a B .

Ejemplo 2

CURVALOGISTICA. El ritmo a que se propaga un rumor en un país es conjuntamente proporcional a la cantidad de personas que se han enterado del rumor y al número de personas que no se han enterado del rumor.
a)Plantee la ecuación diferencial que describe el modelo
b) Encuentre la solución general de la ecuación diferencial planteada.
c) Grafique la solución general obtenida y analice la estabilidaddinámica. SOLUCIÓN:

Sea Q

: Cantidad de personas enteradas del rumor

B : Población Total

B − Q

: Cantidad de personas que no se han enterado del rumor

k : Constante deproporcionalidad

dQ
a) La ecuación para el modelo sería:
dt

= kQ (B

− Q )

dQ
b) La ecuación
dt

− kBQ

= − kQ 2

es de la forma de Bernoulli, por tanto su

solución sería:...