Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales e Integraci¶n en Rn . o Sede Puerto Montt Colecci¶n de Problemas No 4 o 1) Calcule Z Universidad Austral de Chile Integrales de L¶ ³nea 2011 ¡ 2:

C

2xydx ¡ x2 dy;

tom¶ndola sobre los diferentes caminos que se indican a continuaci¶n, que parten a o de O(0; 0) hasta A(2; 1): (a) si C es el segmento de recta OA,. (b) si C es el arco de par¶bola OA, cuyo eje desimetr¶ es el eje de ordenadas, a ³a (c) si C es el arco de par¶bola OA, cuyo eje de simetr¶ es el eje de abscisas, a ³a (d) si C es la poligonal OBA, donde B(2; 0) o (e) si C es la poligonal ODA, donde D(0; 1): R/: (a) 2) Calcule
4 3

R/: (b) 0 I

R/: (c)

12 5

R/: (d)

¡4

R/: (e)

4:

C

(x2 ¡ 2xy)dx + (y 2 ¡ 2xy)dy R/: ¡
14 15 :

a lo largo del arco de la par¶bola y = x2 ,comprendido entre los puntos A(¡1; 1) a y B(1; 1): 3) Calcule I

C

(x2 + y 2 )dx + (x2 ¡ y 2 )dy

si C es la curva de ecuaci¶n y = 1 ¡ j1 ¡ xj, desde O(0; 0) hasta P(2; 0): o R/:
4 3:

4) Sea ¡ la curva cerrada, suave a pedazos y simple, obtenida por la intersecci¶n o de la super¯cie del elipsoide 2x2 + y 2 + 3z 2 = 12 con el plano y = x y orientada en sentido positivo de acuerdo a suposici¶n respecto al plano referido (y = x). o a) Represente la curva ¡ en un SCCR e indique, sobre el gr¶¯co, el sentido de a recorrido de ¡ y calcule: I y 2 dx + xy dy + xz 2 dz
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¡

2

5) Considerando la semicircunferencia C, determinada por la esfera de ecuaci¶n o tal que desde el punto S(0; 0; R), un observador plantea que se recorre en sentido \negativo", calcule Z xydx+ yzdy + zxdz: Ã p ! ¼ 2 1 R/: R3 + : 16 6 x2 + y 2 + z 2 = 2Rx, el plano z = x y el semiplano y ¸ 0, recorrida de modo

C

6) Calcule la integral de l¶ ³nea I ydx + zdy + xdz;

C

donde C es la curva determinada por la intersecci¶n de las super¯cies x = 2 y o x2 + y 2 + z 2 = 4x, orientada de forma tal que un observador situado en el origen, puede decir que la curva se recorre en elmismo sentido de las manecillas del reloj. 7) Sea ¡ la curva cerrada, suave a pedazos y simple, obtenida por la intersecci¶n o de la super¯cie esf¶rica x2 + y 2 + z 2 = 4 con el plano z = x, orientada en e sentido positivo (de acuerdo a su posici¶n respecto al plano z = x). o a) Represente gr¶¯camente la curva ¡ en un SCCCR. e indique sobre el gr¶¯co, a a el sentido de recorrido de ¡. b) Calcule: I x2y dx + x dy + ¡z 2 y dz

¡

8) Sea K la curva cerrada, suave a pedazos y simple, obtenida por la intersecci¶n o del cilindro x2 + z 2 = 9 y el plano 2y = x, orientada de tal forma, que un observador situado en el punto P0 (3; 0; 0), re¯ere que la curva se recorre en sentido negativo. Si U ½ R3 es un abierto que contiene a K, y F (x; y; z) = (z; ¡4y; ¡x), calcule I
K

de¯nida por

F : U !R3 est¶ a

F ¢ dr:

3

9) Sea K la curva cerrada, suave a pedazos y simple, obtenida por la intersecci¶n o p 2 2 2 + z 2 . Consideremos que la curva de las super¯cies y = 6 ¡ x ¡ z e y = x re¯ere que se recorre en sentido positivo. (a) Represente a K

K est¶ orientada de tal forma que un observador situado en el punto P0 (0; 6; 0) a

en un SCCR en R3 e indique, sobre el gr¶¯co, elsentido a

de recorrido de K: I (b) Calcule (yz + x3 ) dx + (yx + z 4 ) dy + (z 5 ¡ 2x) dz: Justi¯que su respuesta.
K

10) Sea ¡ la curva suave a pedazos, cerrada y simple, orientada en sentido positivo, que limita a la regi¶n R de¯nida por: o p p p R = f(x; y) 2 R2 = ¡ 2 · x · 2; jxj · y · 4 ¡ x2 g:

(a) Represente la regi¶n R, en un SCCR en el plano e indique la curva ¡ que o

la limita. I³ ¡y 3 x3 ´ (b) Calcule F ¢ dr, donde F : U ½ R2 ! R2 , tal que F (x; y) = ; : 3 3
¡

Fundamente su respuesta.

11) Sea

¡ el contorno que se obtiene al intersecar las curvas de ecuaciones

(a) Represente la regi¶n R, en un SCCR en el plano. o I (b) Utilizando el Teorema de Green, calcule: (¡8y + 2) dx + (3y + 5x) dy,
¡

y = ¡(x ¡ 2)2 + 4 y x + y = 4.

considerando que ¡ se recorre...