ecuaciones diferenciales

Act 1: Revisión de Presaberes
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Función Exponencial y Logarítmica
Para el curso de ecuaciones diferenciales es esencial tener en cuenta conocimientos básicos del algebra, por tanto se hace necesario que los repasemos. Uno de aquellos conocimientos básicos tiene que ver con es de las funciones exponenciales y logarítmicas.
Se llama función exponencialde base a, con a>0, a la función f(x) = ax.
La función exponencial que más uso tiene es aquella cuya base el número e, de hecho cuando se hace referencia a la función exponencial sin mencionar la base, generalmente se entiende que hablamos de la tiene dicho número.
Por tanto la función exponencial f(x) = ex, donde e = 2,7182818284590452…, se llama función exponencial en base e, que también sele designa o denota como Exp (x) = ex
Cualquier función exponencial y = ax puede escribirse en la forma equivalente y= ekx, con k = ln a
Las siguientes identidades son básicas de esta función:
1. exey= ex+y
2. ex / ey= ex-y
3. (ex)y = exy
La inversa de la función exponencial f(x) = ex es el logaritmo natural ln x. De aquí que se presente los siguientes resultados:
Ln ( ex ) = x  y eLn x = xLa función logarítmica satisface las siguientes identidades:
1. Ln (x y) = ln x + ln y
2. Ln (x/y) = Ln x – Ln y
3. Ln (xa) = aLn x
Ejemplo 1:
Con la calculadora verificar los siguientes resultados:
a) e2 = 7,3891 
b) e3,55 = 34,813 
c) e-0,24 = 0,7866
d) ln 3,4 = 1,2238
e) ln 100 = 4,6052
f) ln 0,54 = - 1,61619
Ejemplo 2:
La población de cierta nación desarrollada se sabe que estádada (en millones de habitantes) por la formula: P = 15e0,02t
En este caso t es el número de años transcurridos a partir de 1960. Determine la población en 1980 y la población proyectada para 1990, suponiendo que la formula tiene validez.
Solución:
En 1980, t=20 y por tanto P = 15 e(0,02)(20) = 15e0,4 = 22,4
De modo que en 1980, la población sería de 22,4 millones.
Para 1990, t = 30 entoncesP = 15 e(0,02)(30) = 27,3
En consecuencia, la población proyectada para 1990 es de 27,3 millones de habitantes.
Ejemplo 3:
Teniendo en cuenta el ejemplo anterior calcule el tiempo que alcanza una población de 25 millones de personas. Recuerde que se tiene la formula:
P = 15 e0,02t
Solución:
De acuerdo con lo anterior tenemos 15 e0,02t = 25
Luego despejamos e, entonces e0,02t = 25/15 ,Para despejar t empleamos logaritmo natural a ambos lados de la igualdad:
Ln (e0,02t) = ln (25/15), de aquí se tiene que: 0,02t = ln (25/15), por tanto:
t = (ln 1,667) / (0,02) = 25,5
En consecuencia la población tarda 25,5 años en alcanzar los 25 millones de habitantes.

Teniendo en cuenta que la función de población P = 45 e0,02t (en millones de personas), y tomando como punto inicial el año2000 entonces la población para el año 2011 es de:
Su respuesta :
1. 56 millones de personas aproximadamente
Correcto
Teniendo en cuenta que la función de población P = 45 e0,02t (en millones de personas), tomando como punto inicial el año 2000, entonces en cuanto tiempo la población será de 60 millones de personas:
Su respuesta :
2. En 14,4 años aproximadamente
Correcto
De la siguientefunción P=Ae0,03t, si P=36 y t=12, entonces A es equivalente a:
Su respuesta :
3. A=25
CORRECTO
Determinantes de segundo y tercer orden
Determinantes de segundo y tercer orden
El determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. Su estudio se justifica en cuanto que simplifica la resolución de sistemas lineales y el cálculo de la matrizinversa, entre otras aplicaciones.
Estudiaremos los determinantes de orden dos y los de orden tres.
Consideremos el sistema

Que consiste en dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Si queremos conocer el determinante del sistema escribimos los coeficientes del sistema de la siguiente forma:

y se llama determinante de segundo orden, y se obtiene de la siguiente forma:

Ejemplo:...