Ecuaciones diferenciales

Tema 5
Generalidades Sobre las Ecuaciones
Diferenciales
5.1

Introducci´n
o

En ingenier´ ciencias f´
ıa,
ısicas y sociales, hay muchos problemas que, al formularlos en
t´rminos matem´ticos, requieren la determinaci´n de una funci´n, la cual debe satisfacer
e
a
o
o
una ecuaci´n que contiene derivadas de la funci´n desconocida. Estas ecuaciones reciben
o
o
el nombre deecuaciones diferenciales.
Definici´n 5.1 (Ecuaci´n diferencial) Una ecuaci´n se llama ecuaci´n diferencial si
o
o
o
o
contiene derivadas o diferenciales de una o m´s variables dependientes de una o m´s
a
a
variables independientes.
Uno de los ejemplos m´s conocidos es la ley de Newton
a
F = ma con a =

d2 x
dt2

⇒

m

d2 x
= F o m x· = F
˙
dt2

d2 x
Si la fuerza se debe a lagravedad m 2 = −mg
dt
Para desarrollar la teor´ de ecuaciones diferenciales, es util clasificar los diferentes
ıa
´
tipos de ecuaciones. Una de las clasificaciones m´s obvias se basa en si la funci´n dea
o
sconocida depende de una o varias variables independientes. Llegamos as´ a la siguiente
ı
o
o
Definici´n 5.2 (Ecuaci´n diferencial ordinaria) Llamamos ecuaci´n diferencial oro
dinaria(E.D.O.) a aquellas ecuaciones diferenciales en las que figuran derivadas de difer1

TEMA 5. GENERALIDADES SOBRE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

2

entes ´rdenes de la funci´n desconocida y(x) , que depende s´lo de una variable indepeno
o
o
diente.
Definici´n 5.3 (Ecuaci´n diferencial en derivadas parciales) Llamamos ecuaci´n
o
o
o
diferencial en derivadas parciales (E.D.P.) a aquellasecuaciones diferenciales en las que
aparecen derivadas parciales de diferentes ´rdenes de la funci´n desconocida , respecto de
o
o
sus variable independientes (dos o m´s).
a
Ejemplos

De E.D.O.


 y − 5y = 1














(x + y)dx − 4ydy = 0
y − 2y + 6y = 0


∂u
 ∂u



 ∂x = − ∂y







 2
 ∂ u(x, y)

∂ 2 u(x, y)


+
=0


∂x2
∂y 2


ecuaci´n del potencial
o

De E.D.P. 


 2 ∂ 2 u(x, y)
∂u(x, y)

 α

=


∂x2
∂y








2

∂ 2 u(x, y)
 2 ∂ u(x, y)
 a

=

2
2

∂x

∂y

ecuaci´n de difusi´n del calor
o
o

ecuaci´n de onda
o

Otra de las clasificaciones se basa en el orden de la derivada.
Definici´n 5.4 (Orden de una ecuaci´n diferencial) Sellama orden de una ecuaci´n
o
o
o
diferencial al de la derivada (ordinaria o parcial) de mayor orden que figura en dicha
ecuaci´n
o
As´ diremos que las ecuaciones diferenciales son de primer orden, de segundo orden,
ı,
de tercer orden, ... y en general, de orden n.
Una ecuaci´n diferencial de orden n se escribir´ como
o
a
F (x, y, y , · · · , y (n) ) = 0

o

F (x, y,

dy
dn y,···, n) = 0
dx
dx

TEMA 5. GENERALIDADES SOBRE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

3

Las ecuaciones diferenciales de primer orden pueden venir expresadas en forma normal
y = f (x, y) o bien en la forma P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0. Ambas son equivalentes:
y = f (x, y)

⇐⇒

dy
= f (x, y)
dx

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0

⇐⇒
⇐⇒

dy − f (x, y)dx = 0
dy
P (x, y)
=−
.
dx
Q(x, y)La E.D. puede venir expresada tambi´n en forma impl´
e
ıcita F (x, y, y ) = 0 y no sea
posible despejar la y (estos casos no lo estudiaremos).
Otra clasificaci´n se basa en la linealidad:
o
Definici´n 5.5 (Ecuaci´n diferencial lineal) Una ecuaci´n diferencial es lineal cuando
o
o
o
es lineal en y(x) y en sus derivadas, es decir, los t´rminos que contienen la funci´n
e
o
inc´gnita ysus derivadas y , y , ..., y (n) aparecen como combinaci´n lineal de y, y , y , ..., y (n) .
o
o
La forma general de la E.D. lineal de orden n es
y (n) + a1 (x)y (n−1) + · · · + an−1 (x)y + an (x)y = h(x)
Ejemplos
xdx + ydy = 0
y − 2y + y = 0
y 3 y − 2y = x
y + y2 = 0

E.D. no Lineal de orden 1
E.D.L. de orden 2
E.D. no Lineal de orden 2
E.D. no Lineal de orden 3

Definici´n 5.6...