Ecuaciones Diferenciales









Introducción
¿Qué es una ecuación diferencial ?
Ejercicios
Solución de una ecuación diferencial
Ejercicios
Soluciones singulares
Ejercicios
Ecuación diferencial de una familia de curvas
Ejercicios
Problemas de valor inicial y de frontera
Existencia y unicidad
Ejercicios
Método de Euler
Solución numérica
Introducción
Muchas de las leyes de lanaturaleza, en física, química o astronomía, encuentran su expresión más natural en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales. Son asimismo abundantes en la propia matemática, especialmente en la geometría.
Es fácil comprender la razón que se oculta tras la amplia gama de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. Recuerde que si es una función, su derivada se puede interpretar como la razón decambio de con respecto a . En cualquier proceso natural, las variables involucradas y sus razones de cambio están relacionadas entre sí por medio de los principios científicos básicos que gobiernan dicho proceso. Al expresar tal conexión en el lenguaje matemático, el resultado es con frecuencia una ecuación diferencial.
El siguiente ejemplo ilustra lo anterior. Por la segunda ley de Newton, laaceleración de un cuerpo de masa es proporcional a la fuerza total , que actúa sobre él con como constante de proporcionalidad, de modo que , o sea,


(1.1)


Supongamos, por ejemplo, que un cuerpo de masa cae bajo la sola influencia de la gravedad. En tal caso la única fuerza que actúa sobre él es , donde es la aceleración de la gravedad 1.1. Si es la altura medida hacia abajo desde una ciertaposición prefijada, entonces su velocidad es es la razón de cambio de su posición. Por otro lado su aceleración




es la razón de cambio de la velocidad. Con esta notación, ecuación 1.1 se convierte en


(1.2)


Si alteramos la situación, admitiendo que el aire ejerce una fuerza de resistencia proporcional a la velocidad, como se muestra en la figura, la fuerza total que actúa sobreel cuerpo es




y la ecuación 1.1 se reduce a


(1.3)


Las ecuaciones diferenciales 1.2 y 1.3 expresan las características esenciales de los procesos físicos considerados.
 
 
          Figura 1



¿ Qué es una ecuación diferencial ?
 
 
 Definición  [Ecuación Diferencial]
 
Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a unafunción desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria, por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial .

La frase de manera no trivial que hemos usado en la definición anterior tiene como propósito descartarecuaciones diferenciales que satisfacen la definición, pero son realmente identidades, es decir, son siempre verdaderas sin importar quién sea la función desconocida. Un ejemplo de tal tipo de ecuaciones es:




Esta ecuación es satisfecha por cualquier función en una variable que sea derivable. Otro ejemplo es




Es claro que lo que está detrás de esta ecuación es la fórmula notable ; porlo que la ecuación es satisfecha por cualquier función derivable.
Nuestra atención se centrará sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuación diferencial ordinaria es aquella que tiene a como variable dependiente y a como variable independiente se acostumbra expresar en la forma


(1.4)


para algún entero positivo . Si podemos despejar de esta ecuación la derivada más alta,obtenemos una o más ecuaciones de orden de la forma




 
Ejemplo
La ecuación es equivalente a las dos ecuaciones diferenciales




Las ecuaciones diferenciales se clasifican en varias categorías, como ya vimos, según su tipo en ordinarias y parciales, o según su linealidad u orden, como veremos.
 
 
 Definición  [ Orden de una ecuación diferencial]
 
El orden de una ecuación...