Ecuaciones diferenciales

Tema 2
ECUACIONES DIFERENCIALES

2.1.

Introducci´n
o

Gran parte de los sistemas que nos rodean est´n sometidos al cambio, por tanto,
a
es un hecho cotidiano para todos nosotros. Las Matem´ticas son muy utiles para
a
´
investigar, entre otros, fen´menos como el movimiento de los planetas, la desino
tegraci´n de sustancias radiactivas, la velocidad de las reacciones qu´
o
ımicas ylos
patrones meteorol´gicos. Por otro lado, los bi´logos investigan en campos tales coo
o
mo la contaminaci´n o la din´mica de poblaciones. Incluso en ´reas, aparentemente
o
a
a
alejadas de la Matem´ticas, como las Ciencias Pol´
a
ıticas o la Medicina, es frecuente
que recurran a los modelos matem´ticos, en los cuales la clave est´ en el cambio.
a
a
Muchos de estos modelos seexpresan a trav´s de una ecuaci´n diferencial. Si y = f (t)
e
o
es una funci´n que relaciona las variables t e y, entonces su derivada
o
dy
,
dt
nos indica la tasa de cambio o velocidad de cambio de la variable y con respecto
de la variable t.
y =

Cuando estudiamos un problema del mundo real necesitamos usualmente desarrollar
un marco matem´tico. Sabemos que el proceso por el que se crea yevoluciona este
a
marco es la construcci´n de un modelo matem´tico, siendo algunos de ellos muy
o
a
precisos, especialmente los de la F´
ısica. Sin embargo, otros lo son menos, concretamente los que tratan de problemas de Biolog´ o Ciencias Sociales. No obstante, en
ıa
los ultimos a˜os los enunciados de estas materias se han vuelto lo suficientemente
´
n
precisos como para poderexpresarlos matem´ticamente.
a
Un ejemplo de creaci´n de un modelo continuo lo tenemos en la predicci´n del
o
o
tiempo. En teor´ si pudi´semos programar en un ordenador todas las hip´tesis coıa,
e
o
rrectas, as´ como los enunciados matem´ticos apropiados sobre las formas en que las
ı
a

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Tema 2 Ecuaciones diferenciales

condiciones clim´ticas operan, tendr´
a
ıamos un buenmodelo para predecir el tiempo mundial. En el modelo del clima global, un sistema de ecuaciones calcula los
cambios que dependen del tiempo, siendo las variables el viento, la temperatura y
la humedad, tanto en la atm´sfera como en la tierra. El modelo1 puede predecir
o
tambi´n las alteraciones de la temperatura en la superficie de los oc´anos.
e
e
Por todo lo comentado anteriormente, hemospuesto de manifiesto que en los modelos matem´ticos del mundo real tienen gran importancia el estudio de las ecuaciones
a
diferenciales. En cualquier lugar donde se lleve a cabo un proceso que cambie continuamente en relaci´n al tiempo (rapidez de variaci´n de una variable con respecto
o
o
a otra), suele ser apropiado el uso de las ecuaciones diferenciales.

EJERCICIO 1

Escribir una ecuaci´ndiferencial que describa la situaci´n dada.
o
o
1 La cantidad de bacterias en un cultivo crece, en cada momento, a un
ritmo que es proporcional al n´ mero de bacterias presentes.
u
2 Cuando los factores ambientales imponen un l´
ımite superior sobre su
tama˜ o, la poblaci´n crece a un ritmo que es conjuntamente proporcional
n
o
a su tama˜ o actual y a la diferencia entres u l´
n
ımitesuperior y su tama˜ o
n
actual.
3 La raz´n a la que las personas oyen hablar sobre un nuevo aumento de
o
precios es proporcional al n´ mero de personas en la ciudad que no han
u
o´ hablar al respecto.
ıdo
4 El ritmo con el que se propaga una epidemia en una comunidad es conjuntamente proporcional a la cantidad de residentes que han sido infectados
y al n´ mero de residentes propensos ala enfermedad que no han sido
u
infectados.
5 Si es cierto que en una econom´ estable la velocidad de disminuci´n del
ıa
o
n´ mero de personas y, con un salario de por lo menos x euros, es directau
mente proporcional al n´ mero de personas e inversamente proporcional
u
a su salario, obt´ngase la ley de Pareto, es decir la expresi´n de y en
e
o
funci´n de x.
o

2.2.

¿Qu´ es una...